Анализ и расчет электрических цепей. Анализ и расчет линейных электрических цепей постоянного тока

Изложение методов расчета и анализа электрических цепей, как правило, сводится к нахождению токов ветвей при известных значениях ЭДС и сопротивлений.

Рассматриваемые здесь методы расчета и анализа электрических цепей постоянного тока пригодны и для цепей переменного тока.

2.1 Метод эквивалентных сопротивлений

(метод свертывания и развертывания цепи).

Этот метод применяется только для электрических цепей содержащих один источник питания. Для расчета, отдельные участки схемы, содержащие последовательные или параллельные ветви, упрощают, заменяя их эквивалентными сопротивлениями. Таким образом, цепь свертывается до одного эквивалентного сопротивления цепи подключенного к источнику питания.

Затем определяется ток ветви, содержащий ЭДС, и схема разворачивается в обратном порядке. При этом вычисляются падения напряжений участков и токи ветвей. Так, например, на схеме 2.1 А Сопротивления R 3 и R 4 включены последовательно. Эти два сопротивления можно заменить одним, эквивалентным

R 3,4 = R 3 + R 4

После такой замены получается более простая схема(Рис.2.1Б ).

Здесь следует обратить внимание на возможные ошибки в определении способа соединений сопротивлений. Например сопротивления R 1 и R 3 нельзя считать соединенными последовательно, также как сопротивления R 2 и R 4 нельзя считать соединенными параллельно, т. к. это не соответствует основным признакам последовательного и параллельного соединения.

Рис 2.1 К расчету электрической цепи методом

Эквивалентных сопротивлений.

Между сопротивлениями R 1 и R 2 , в точке В , имеется ответвление с током I 2 .поэтому ток I 1 Не будет равен току I 3 , таким образом сопротивления R 1 и R 3 нельзя считать включенными последовательно. Сопротивления R 2 и R 4 с одной стороны присоединены к общей точке D , а с другой стороны — к разным точкам В и С. Следовательно, напряжение, приложенное к сопротивлению R 2 и R 4 Нельзя считать включенными параллельно.

После замены сопротивлений R 3 и R 4 эквивалентным сопротивлением R 3,4 и упрощением схемы (Рис. 2.1 Б ), более наглядно видно, что сопротивления R 2 и R 3,4 соединены параллельно и их можно заменить одним эквивалентным, исходя из того, что при параллельном соединении ветвей общая проводимость равна сумме проводимостей ветвей:

GBD = G 2 + G 3,4 , Или = + Откуда

RBD =

И получить еще более простую схему (Рис 2.1,В ). В ней сопротивления R 1 , RBD , R 5 соединены последовательно. Заменив эти сопротивления одним, эквивалентным сопротивлением между точками A и F , получим простейшую схему (Рис 2.1, Г ):

RAF = R 1 + RBD + R 5 .

В полученной схеме можно определить ток в цепи:

I 1 = .

Токи в других ветвях нетрудно определить переходя от схемы к схеме в обратном порядке. Из схемы на рисунке 2.1 В Можно определить падение напряжения на участке B , D цепи:

UBD = I 1 ·RBD

Зная падение напряжения на участке между точками B и D можно вычислить токи I 2 и I 3 :

I 2 = , I 3 =

Пример 1. Пусть (Рис 2.1 А ) R 0 = 1 Ом; R 1 =5 Ом; R 2 =2 Ом; R 3 =2 Ом; R 4 =3 Ом; R 5 =4 Ом; Е =20 В. Найти токи ветвей, составить баланс мощностей.

Эквивалентное сопротивление R 3,4 Равно сумме сопротивлений R 3 и R 4 :

R 3,4 = R 3 + R 4 =2+3=5 Ом

После замены (Рис 2.1 Б ) вычислим эквивалентное сопротивление двух параллельных ветвей R 2 и R 3,4 :

RBD = ==1,875 Ом,

И схема еще упростится (Рис 2.1 В ).

Вычислим эквивалентное сопротивление всей цепи:

R Экв = R 0 + R 1 + RBD + R 5 =11,875 Ом.

Теперь можно вычислить общий ток цепи, т. е. вырабатываемый источником энергии:

I 1 = =1,68 А.

Падение напряжения на участке BD будет равно:

UBD = I 1 · RBD =1,68·1,875=3,15 В.

I 2 = = =1,05 А; I 3 ===0,63 А

Составим баланс мощностей:

Е· I1= I12 · (R0+ R1+ R5) + I22 · R2+ I32 · R3,4 ,

20·1,68=1,682·10+1,052·3+0,632·5 ,

33,6=28,22+3,31+1,98 ,

Минимальное расхождение обусловлено округлением при вычислении токов.

В некоторых схемах нельзя выделить сопротивлений включенных между собой последовательно или параллельно. В таких случаях лучше воспользоваться другими универсальными методами, которые можно применить для расчета электрических цепей любой сложности и конфигурации.

2.2 Метод законов Кирхгофа.

Классическим методом расчета сложных электрических цепей является непосредственное применение законов Кирхгофа. Все остальные методы расчета электрических цепей исходят из этих фундаментальных законов электротехники.

Рассмотрим применение законов Кирхгофа для определения токов сложной цепи (Рис 2.2) если ее ЭДС и сопротивления заданы.

Рис. 2.2. К расчету сложной электрической цепи для

Определения токов по законам Кирхгофа.

Число независимых токов схемы равно числу ветвей (в нашем случае m=6). Поэтому для решения задачи необходимо составить систему из шести независимых уравнений, совместно по первому и второму законам Кирхгофа.

Количество независимых уравнений составленных по первому закону Кирхгофа всегда на единицу меньше чем узлов, Т. к. признаком независимости является наличие в каждом уравнении хотя бы одного нового тока.

Так как число ветвей M всегда больше, чем узлов К , То недостающее количество уравнений составляется по второму закону Кирхгофа для замкнутых независимых контуров, Т. е. чтобы в каждое новое уравнение входила хотя бы одна новая ветвь.

В нашем примере количество узлов равно четырем – A , B , C , D , следовательно, составим только три уравнения по первому закону Кирхгофа, для любых трех узлов:

Для узла A: I1+I5+I6=0

Для узла B: I2+I4+I5=0

Для узла C: I4+I3+I6=0

По второму закону Кирхгофа нам нужно составить также три уравнения:

Для контура A , C ,В, А: I 5 · R 5 — I 6 · R 6 — I 4 · R 4 =0

Для контура D ,A ,В, D : I 1 · R 1 — I 5 · R 5 — I 2 · R 2 =Е1-Е2

Для контура D ,В, С, D : I 2 · R 2 + I 4 · R 4 + I 3 · R 3 =Е2

Решая систему из шести уравнений можно найти токи всех участков схемы.

Если при решении этих уравнений токи отдельных ветвей получатся отрицательными, то это будет указывать, что действительное направление токов противоположно произвольно выбранному направлению, но величина тока будет правильной.

Уточним теперь порядок расчета:

1) произвольно выбрать и нанести на схему положительные направления токов ветвей;

2) составить систему уравнений по первому закону Кирхгофа – количество уравнений на единицу меньше чем узлов;

3) произвольно выбрать направление обхода независимых контуров и составить систему уравнений по второму закону Кирхгофа;

4) решить общую систему уравнений, вычислить токи, и, в случае получения отрицательных результатов, изменить направления этих токов.

Пример 2 . Пусть в нашем случае (рис. 2.2.) R 6 = ∞ , что равносильно обрыву этого участка цепи (рис. 2.3). Определим токи ветвей оставшейся цепи. вычислим баланс мощностей, если E 1 =5 В, E 2 =15 B, R 1 =3 Ом, R 2 = 5 Ом, R 3 =4 Ом, R 4 =2 Ом, R 5 =3 Ом.

Рис. 2.3 Схема к решению задачи.

Решение. 1. Выберем произвольно направление токов ветвей, их у нас три: I 1 , I 2 , I 3 .

2. Составим только одно независимое уравнение по первому закону Кирхгофа, т. к. в схеме лишь два узла В и D .

Для узла В : I 1 + I 2 — I 3 =О

3. Выберем независимые контуры и направление их обхода. Пусть контуры ДАВД и ДВСД будем обходить по часовой стрелке:

E1-E2=I1(R1 + R5) — I2·R2,

E2=I2 · R2 + I3 · (R3 + R4).

Подставим значения сопротивлений и ЭДС.

I 1 + I 2 — I 3 =0

I 1 +(3+3)- I 2 · 5=5-15

I 2 · 5+ I 3 (4+2)=15

Решив систему уравнений, вычислим токи ветвей.

I 1 =- 0,365А; I 2 = I 22 — I 11 = 1,536А; I 3 =1,198А.

Как проверку правильности решения составим баланс мощностей.

Σ EiIi= Σ Iy2·Ry

E1·I1 + E2·I2 = I12·(R1 + R5) + I22·R2 + I32·(R3 + R4);

5(-0,365) + 15·1,536 = (-0,365)2·6 + 1,5632·5 + 1,1982·6

1,82 + 23,44 = 0,96 + 12,20 + 8,60

21,62 ≈ 21,78.

Расхождения незначительны, следовательно решение верно.

Одним из главных недостатков этого метода является большое количество уравнений в системе. Более экономичным при вычислительной работе является Метод контурных токов .

2.3 Метод контурных токов.

При расчете Методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре течет свой (условный) Контурный ток . Уравнения составляют относительно контурных токов по второму закону Кирхгофа. Таким образом количество уравнений равно количеству независимых контуров.

Реальные токи ветвей определяют как алгебраическую сумму контурных токов каждой ветви.

Рассмотрим, например, схему рис. 2.2. Разобьем ее на три независимых контура: СВАС ; АВ D А ; ВС D В и условимся, что по каждому из них проходит свой контурный ток, соответственно I 11 , I 22 , I 33 . Направление этих токов выберем во всех контурах одинаковым по часовой стрелке, как показано на рисунке.

Сопоставляя контурные токи ветвей, можно установить, что по внешним ветвям реальные токи равны контурным, а по внутренним ветвям они равны сумме или разности контурных токов:

I1 = I22, I2 = I33 — I22, I3 = I33,

I4 = I33 — I11, I5 = I11 — I22, I6 = — I11.

Следовательно, по известным контурным токам схемы легко можно определить действительные токи ее ветвей.

Для определения контурных токов данной схемы достаточно составить только три уравнения для каждого независимого контура.

Составляя уравнения для каждого контура необходимо учесть влияние соседних контуров токов на смежные ветви:

I11(R5 + R6 + R4) — I22·R5 — I33·R4 = O,

I22(R1 + R2 + R5) — I11·R5 — I33·R2 = E1 — E2,

I 33 (R 2 + R 3 + R 4 ) — I 11 · R 4 — I 22 · R 2 = E 2 .

Итак, порядок расчета методом контурных токов выполняется в следующей последовательности:

1. установить независимые контуры и выбрать направления в них контурных токов;

2. обозначить токи ветвей и произвольно дать им направления;

3. установить связь действительных токов ветвей и контурных токов;

4. составить систему уравнений по второму закону Кирхгофа для контурных токов;

5. решить систему уравнений, найти контурные токи и определить действительные токи ветвей.

Пример 3. Решим задачу (пример 2) методом контурных токов, исходные данные те же.

1. В задаче возможны только два независимых контура: выберем контуры АВ D А и ВС D В , и примем направления контурных токов в них I 11 и I 22 по часовой стрелке (рис. 2.3).

2. Действительные токи ветвей I 1 , I 2, I 3 и их направления также показаны на (рис 2.3).

3. связь действительных и контурных токов:

I 1 = I 11 ; I 2 = I 22 — I 11 ; I 3 = I 22

4. Составим систему уравнений для контурных токов по второму закону Кирхгофа:

E1 — E2 = I11·(R1 + R5 + R2) — I22·R2

E2 = I22·(R2 + R4 + R3) — I11·R2;

5-15=11·I 11 -5·I 22

15=11·I 22 -5·I 11 .

Решив систему уравнений получим:

I 11 = -0,365

I 22 = 1,197, тогда

I 1 = -0,365; I 2 = 1,562; I 3 = 1,197

Как видим реальные значения токов ветвей совпадают с полученными значениями в примере 2.

2.4 Метод узлового напряжения (метод двух узлов).

Часто встречаются схемы содержащие всего два узла; на рис. 2.4 изображена одна из таких схем.

Рис 2.4. К расчету электрических цепей методом двух узлов.

Наиболее рациональным методом расчета токов в них является Метод двух узлов.

Под Методом двух узлов понимают метод расчета электрических цепей, в котором за искомое напряжение (с его помощью затем определяют токи ветвей) принимают напряжение между двумя узлами А и В схемы – U АВ .

Напряжение U АВ может быть найдено из формулы:

U АВ =

В числителе формулы знак «+», для ветви содержащей ЭДС, берется если направление ЭДС этой ветви направлено в сторону повышения потенциала, и знак «-» если в сторону понижения. В нашем случае, если потенциал узла А принять выше потенциала узла В (потенциал узла В принять равным нулю), Е1 G 1 , берется со знаком «+», а Е2· G 2 со знаком «-»:

U АВ =

Где G – проводимости ветвей.

Определив узловое напряжение, можно вычислить токи в каждой ветви электрической цепи:

I К =(Ек- U АВ ) G К .

Если ток имеет отрицательное значение, то действительное его направление является противоположным обозначенным на схеме.

В этой формуле, для первой ветви, т. к. ток I 1 совпадает с направлением Е1 , то ее значение принимается со знаком плюс, а U АВ со знаком минус, т. к. направлено навстречу току. Во второй ветви и Е2 и U АВ направлены навстречу току и берутся со знаком минус.

Пример 4 . Для схемы рис. 2.4 если Е1= 120В, Е2=5Ом, R1=2Ом, R2=1Ом, R3=4Ом, R4=10Ом.

UАВ=(120·0,5-50·1)/(0,5+1+0,25+0,1)=5,4 В

I1=(E1-UАВ)·G1= (120-5,4)·0,5=57,3А;

I2=(-E2-UАВ)·G2 = (-50-5,4)·1 = -55,4А;

I3=(О-UАВ)·G3 = -5,4·0,25 = -1,35А;

I4=(О-UАВ)·G4 = -5,4·0,1 = -0,54А.

2.5. Нелинейные цепи постоянного тока и их расчет.

До сих пор мы рассматривали электрические цепи, параметры которых (сопротивления и проводимости) считались не зависящими от величины и направления проходящего по ним тока или приложенного к ним напряжения.

В практических условиях большинство встречающихся элементов имеют параметры зависящие от тока или напряжения, вольт-амперная характеристика таких элементов имеет нелинейный характер (рис. 2.5),такие элементы называются Нелинейными . Нелинейные элементы широко используются в различных областях техники (автоматики, вычислительной техники и других).

Рис. 2.5. Вольт-амперные характеристики нелинейных элементов:

1 — полупроводникового элемента;

2 — термосопротивления

Нелинейные элементы позволяют реализовать процессы которые невозможны в линейных цепях. Например, стабилизировать напряжение, усиливать ток и другие.

Нелинейные элементы бывают управляемыми и неуправляемыми. Неуправляемые нелинейные элементы работают без влияния управляющего воздействия (полупроводниковые диоды, термосопротивления и другие). Управляемые элементы работают под влиянием управляющего воздействия (тиристоры, транзисторы и другие). Неуправляемые нелинейные элементы имеют одну вольт-амперную характеристику; управляемые – семейство характеристик.

Расчет электрических цепей постоянного тока чаще всего производят графическими методами, которые применимы при любом виде вольт-амперных характеристик.

Последовательное соединение нелинейных элементов.

На рис. 2.6 приведена схема последовательного соединения двух нелинейных элементов, а на рис. 2.7 их вольтамперные характеристики – I (U 1 ) и I (U 2 )

Рис. 2.6 Схема последовательного соединения

Нелинейных элементов.

Рис. 2.7 Вольтамперные характеристики нелинейных элементов.

Построим вольт-амперную характеристику I (U ), выражающую зависимость тока I в цепи от приложенного к ней напряжения U . Так как ток обоих участков цепи одинаков, а сумма напряжений на элементах равна приложенному (рис. 2.6) U = U 1 + U 2 , то для построения характеристики I (U ) достаточно просуммировать абсциссы заданных кривых I (U 1 ) и I (U 2 ) для определенных значений тока. Пользуясь характеристиками (рис. 2.6) можно решить различные для этой цепи задачи. Пусть, например, задана величина приложенного к току напряжения U и требуется определить ток в цепи и распределение напряжений на ее участках. Тогда на характеристике I (U ) отмечаем точку А соответствующую приложенному напряжению U и проводим от нее горизонталь пересекающую кривые I (U 1 ) и I (U 2 ) до пересечения с осью ординат (точка D ), которая показывает величину тока в цепи, а отрезки В D и С D величину напряжения на элементах цепи. И наоборот по заданному току можно определить напряжения как общее, так и на элементах.

Параллельное соединения нелинейных элементов.

При параллельном соединении двух нелинейных элементов (рис. 2.8) с заданными вольт-амперными характеристиками в виде кривых I 1 (U ) и I 2 (U ) (рис. 2.9) напряжение U является общим, а ток I в неразветвленной части цепи равен сумме токов ветвей:

I = I 1 + I 2

Рис. 2.8 Схема параллельного соединения нелинейных элементов.

Поэтому для получения общей характеристики I(U) достаточно для произвольных значений напряжения U на рис. 2.9 просуммировать ординаты характеристик отдельных элементов.

Рис. 2.9 Вольт-амперные характеристики нелинейных элементов.

Вопросы:

Расчёт методом непосредственного применения закона Кирхгофа.
Расчёт методом контурных токов.
Расчёт методом суперпозиции.
Расчёт методом узловых напряжений.
Расчёт методом эквивалентного генератора.

Ход лекции:

I. Расчёт методом применения закона Кирхгофа.

Определяем кол-во узлов и ветвей.

Произвольно зададим направление токов всех ветвей.
Составляем уравнение по первому закону Кирхгофа для каждого независимого узла: k-1=3.

Для точки А: I 1 -I 3 -I 2 =0

Для точки В: I 3 +I 5 -I 4 =0

Для точки D: I 4 -I 1 +I 67 =0

Недостающие уравнения: m-(k-1)=3 составляем по второму закону Кирхгофа для каждого независимого контура:

E 1 =I 3 R 3 +I 4 R 4 +I 1 R 1

E 2 -E 5 = -I 3 R 3 +I 2 R 2 +I 5 *0

E 5 = I 67 (R 6 +R 7)-I 4 R 4

Решая систему уравнений находим неизвестные токи в ветвях.
По результатам полученных численно значений токов выполняем действия:

1). Уточняем направление тока в ветвях: если ток отрицательный, то пишем примечание – реальное направление тока противоположено показанному на схеме.

2). Определяем режим работы источника питания: если направление ЭДС и реального тока совпадают, то режим источника питания – режим генератора, если направление ЭДС и реального тока противоположно, то это режим потребителя.

7. Проверка решения – проверка уравнения баланса мощностей: алгебраическая сумма мощностей источников равна арифметической сумме мощностей нагрузок

Если направление ЭДС и реального тока совпадают, то Р ист =EI (>0), если направление ЭДС и реального тока не совпадают, то Р ист = -EI (<0).

Можность нагрузки Р потр =I n 2 R n

Итак, уравнение баланса мощностей для нашей схемы:

E 1 I 1 +E 2 I 2 -E 5 I 5 =I 1 2 R 1 +I 2 2 R 2 +I 3 2 R 3 +I 2 4 R 4 +I 2 67 (R 6 +R 7)

Итак, если поле подстановки численных значений величин уравнения баланса обращается в тождество, то задача решена верно.

Достоинство метода: Его простота.

Недостатки метода: Большое количество совместно решаемых уравнений для сильно разветвленных цепей.

Поэтому метод применяется для расчета сложных цепей на компьютерах, в ручную не рекомендуется.

II. Расчёт методом контурных токов.

Определение кол-ва узлов К=4, m=6
Находим независимые контуры и для каждого задаётся произвольно положительное направление контурного тока. Контурный ток – ток, обтекающий ветви своего независимого контура.
Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа, учитывая все контурные токи, протекающие по ветвям выбранного контура.

I: E 1 =I k1 I(R 1 +R 3 +R 4)-I k2 R 3 -I k3 R 4

II: E 2 -E 5 =I k2 (R 2 +R 3)-R 3 I k1 -I k3 R 5

III. E 5 = I k3 (R 4 +R 6 +R 7)-I k1 R 4 -I k2 0

Решая систему уравнений например, методом Крамера, найдём контурные токи:

I k 1 =Δ 1 /Δ I k 2 = Δ 2 /Δ I k 3 =Δ 3 /Δ

Δ – коэффициент при контурных токах

R 1 +R 3 +R 4 -R 3 -R 4

Δ= -R 3 R 2 +R 3 0

R 4 0 R 4 +R 6 +R 7

Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 получают заменой к-того столбца на левую часть уравнений.

Произвольно обозначаем направление токов в ветвях.
Выражаем токи в ветвях через алгебраическую сумму прилегающих контурных токов: контурный ток, совпадающий с током в ветви, записывают с плюсом.

I 1 =I k1 I 4 =I k1 -I k3

I 2 =I k2 I 5 =I k2 -I k3

I 3 =I k 1 -I k 2 I 67 =I k 3

по полученным значениям уточняем реальные направления токов в ветвях и определяем режимы работ.
Проверка режимов баланса мощностей.

Достоинства метода: более короткий алгоритм

Недостатки метода: необходимо знание этого алгоритма.

Область применения: очень широкая для расчёта тока в разветвленных ветвях.

III. Расчёт методом суперпозиции.

В электротехнике принцип суперпозиции проявляет себя как принцип независимости действия ЭДС. Согласно этому принципу каждая ЭДС возбуждает в любой ветви свою долю тока – частичный ток. Результирующий ток в ветви определяется как алгебраическая сумма частичных токов.

Задаём произвольное направление тока в ветвях.
Создаём первую частичную схему замещения: из исходной схемы замещения выбрасываем все источники ЭДС, кроме первого, но оставляем их внутреннее сопротивление. Находим частичные токи в ветвях методом свёртки схемы.

Создаём вторую частичную схему замещения: выбрасываем все источники ЭДС, кроме второго и оставляем их внутренние сопротивления.

Е 2

R э 2 =R 2 +R 134

Создаём третью частичную схему замещения аналогично прошлым.

R э3 = R 12 +R 34

Наложив частичные схемы одну на другую, определяем результирующий ток в каждой ветви как алгебраическую сумму частичных токов.

Истинное направление токов на исходной схеме замещения определяем по результатам аналитического расчёта по правилу:

Если значение тока положительно, то направление тока угадано верно, если значение тока отрицательно, то реальное направление тока противоположно.

Алгоритм метода прост, требует знание только закона Ома, однако не производительный, поэтому для полного анализа сложной электрической цепи не применяется. Рекомендуется для частичного анализа цепи.

IV. Расчёт методом узловых напряжений.

В приложении для цепи с параллельными ветвями получил название «метод двух узлов».

k=2, m=3
Нахождение токов всех ветвей: Задаём произвольно условно положительное направление узлового напряжения между узлами и определяем его по формуле:

, где

РЕФЕРАТ ПО ТЕМЕ:

МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Введение

Общая задача анализа электрической цепи состоит в том, что по заданным параметрам (ЭДС, ТДС, сопротивлениям) необходимо рассчитать токи, мощность, напряжение на отдельных участках.

Рассмотрим более подробно методы расчета электрических цепей.

1. Метод уравнений Кирхгофа

Этот метод является наиболее общим методом решения задачи анализа электрической цепи. Он основан на решении системы уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа относительно реальных токов в ветвях рассматриваемой цепи. Следовательно, общее число уравнений p равно числу ветвей с неизвестными токами. Часть этих уравнений составляется по первому закону Кирхгофа, остальные – по второму закону Кирхгофа. В схеме содержащей q узлов, по первому закону Кирхгофа можно составить q уравнений. Однако, одно из них (любое) является суммой всех остальных. Следовательно, независимых уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, будет .

По второму закону Кирхгофа должны быть составлены недостающие m уравнений, число которых равно .

Для записи уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо выбрать m контуров так, чтобы в них вошли в итоге все ветви схемы.

Рассмотрим данный метод на примере конкретной схемы (рис. 1).

Прежде всего, выбираем и указываем на схеме положительные направления токов в ветвях и определяем их число p . Для рассматриваемой схемы p = 6. Следует отметить, что направления токов в ветвях выбираются произвольно. Если принятое направление какого-либо тока не соответствует действительному, то числовое значение данного тока получается отрицательным.

Следовательно, число уравнений по первому закону Кирхгофа равно q – 1 = 3.

Число уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа

m = p - (q – 1) = 3.

Выбираем узлы и контуры, для которых будем составлять уравнения, и обозначаем их на схеме электрической цепи.

Уравнения по первому закону Кирхгофа:

Уравнения по второму закону Кирхгофа:

Решая полученную систему уравнений, определяем токи ветвей. Расчет электрической цепи не обязательно заключается в вычислении токов по заданным ЭДС источников напряжения. Возможна и другая постановка задачи – вычисление ЭДС источников по заданным токам в ветвях схемы. Задача может иметь и смешанный характер – заданы токи в некоторых ветвях и ЭДС некоторых источников. Нужно найти токи в других ветвях и ЭДС других источников. Во всех случаях число составленных уравнений должно быть равно числу неизвестных величин. В состав схемы могут входить и источники энергии, заданные в виде источников тока. При этом ток источника тока учитывается как ток ветви при составлении уравнений по первому закону Кирхгофа.

Контуры для составления уравнений по второму закону Кирхгофа должны быть выбраны так, чтобы ни один расчетный контур не проходил через источник тока.

Рассмотрим схему электрической цепи, представленную на рис. 2.

Выбираем положительные направления токов и наносим их на схему. Общее число ветвей схемы равно пяти. Если считать ток источника тока J известной величиной, то число ветвей с неизвестными токами p = 4.

Схема содержит три узла (q = 3). Следовательно, по первому закону Кирхгофа необходимо составить q – 1 = 2 уравнения. Обозначим узлы на схеме. Число уравнений составленных по второму закону Кирхгофа m = p - (q – 1) =2.

Выбираем контуры таким образом, чтобы ни один из них не проходил через источник тока, и обозначаем их на схеме.

Система уравнений, составленная по законам Кирхгофа, имеет вид:

Решая полученную систему уравнений, найдем токи в ветвях. Метод уравнений Кирхгофа применим для расчета сложных как линейных, так и нелинейных цепей, и в этом его достоинство. Недостаток метода состоит в том, что при расчете сложных цепей необходимо составлять и решать число уравнений, равное числу ветвей p .

Заключительный этап расчета – проверка решения, которая может быть выполнена путем составления уравнения баланса мощности.

Под балансом мощностей электрической цепи понимается равенство мощностей, развиваемой всеми источниками энергии данной цепи, и мощности, потребляемой всеми приемниками той же цепи (закон сохранения энергии).

Если на участке цепи ab имеется источник энергии с ЭДС и по этому участку протекает ток , то мощность, развиваемая этим источником, определяется произведением .

Каждый из множителей этого произведения может иметь положительный или отрицательный знак относительно направления ab . Произведение будет иметь положительный знак, если знаки расчетных величин и совпадают (мощность, развиваемая данным источником, отдается приемникам цепи). Произведение будет иметь отрицательный знак если знаки и противоположны (источник потребляет мощность, развиваемую другими источниками). Примером может служить аккумулятор, находящийся в режиме зарядки. В этом случае мощность данного источника (слагаемое ) входит в алгебраическую сумму мощностей, развиваемых всеми источниками цепи, с отрицательным знаком. Аналогично определяется величина и знак мощности, развиваемой источником тока. Если на участке цепи mn имеется идеальный источник тока с током , то мощность развиваемая этим источником, определяется произведением . Как и в источнике ЭДС знак произведения определяется знаками множителей.

Теперь можно записать общий вид уравнения баланса мощностей

Для цепи, представленной на рис2.2 уравнение баланса мощности имеет вид

2. Метод контурных токов

Метод контурных токов сводится к составлению уравнений только по второму закону Кирхгофа. Число этих уравнений, равное , на уравнений меньше числа уравнений, необходимых для расчета электрических цепей по методу законов Кирхгофа.

При этом предполагаем, что в каждом выбранном контуре протекает независимые друг от друга расчетные токи, называемые контурными. Ток каждой ветви определяется как алгебраическая сумма контурных токов, замыкающихся через эту ветвь, с учетом принятых направлений контурных токов и знаков их величин.

Число контурных токов равно числу «ячеек» (элементарных контуров) схемы электрической цепи. Если рассматриваемая схема содержит источник тока, то независимые контуры необходимо выбирать так, чтобы ветвь с источником тока входила только в один контур. Для этого контура расчетное уравнение не составляется, так как контурный ток равен току источника.

Каноническая форма записи уравнений контурных токов для n независимых контуров имеет вид

где

Контурный ток n -го контура;

Алгебраическая сумма ЭДС, действующих в n -ом контуре, называемая контурная ЭДС;

Собственное сопротивление n -го контура, равная сумме всех сопротивлений, входящих в рассматриваемый контур;

Сопротивление принадлежащие одновременно двум контурам (в данном случае контуром n и i ) и называемое общим или взаимным сопротивлением этих контуров. Первым ставится индекс контура, для которого составляется уравнение. Из определения взаимного сопротивления следует, что сопротивления, отличающиеся порядком индексов, равны, т.е. .

Взаимным сопротивлением приписывается знак плюс, если протекающие по ним контурные токи и имеют одинаковые направления, и знак минус, если их направления противоположны.

Таким образом, составление уравнений контурных токов может быть сведено к записи симметричной матрицы сопротивлений

и вектора контурных ЭДС

При введении вектора искомых контурных токов || уравнения (5) можно записать в матричной форме

Решение системы линейных уравнений алгебраических уравнений (5) для тока n -го контура может быть найдено по правилу Крамера

где - главный определитель системы уравнений, соответствующий матрице контурных сопротивлений

Определитель получаем из главного определителя путем замены n -го столбца сопротивлений на столбец (вектор) контурных ЭДС.

Рассмотрим метод контурных токов на примере конкретной схемы электрической цепи (рис. 3).

Схема состоит из 3-х элементарных контуров (ячеек). Следовательно, независимых контурных токов три. Выбираем произвольно направление контурных токов и наносим их на схему. Контуры можно выбирать и не по ячейкам, но их обязательно должно быть три (для данной схемы) и все ветви схемы должны войти в состав выбранных контуров.

Для 3-х контурной схемы уравнение контурных токов в канонической форме имеют вид:

Находим собственные и взаимные сопротивления и контурные ЭДС.

Собственные сопротивления контуров

Напомним, что собственные сопротивления всегда положительные.

Определим взаимные сопротивления, т.е. сопротивления, общие для двух контуров.

Отрицательный знак взаимных сопротивлений обусловлен тем, что контурные токи, протекающие по этим сопротивлениям, противоположно направлены.

Контурные ЭДС

Подставляем значения коэффициентов (сопротивлений) в уравнения:

Решая систему уравнений (7), определяем контурные токи.

Для однозначного определения токов ветвей выбираем их положительные направления и указываем на схеме (рис. 3).

Токи ветвей

3. Метод узловых напряжений (потенциалов)

Сущность метода заключается в том, что в качестве неизвестных принимаются узловые напряжения (потенциалы) независимых узлов цепи относительно одного узла, выбранного в качестве опорного или базисного. Потенциал базисного узла принимается равным нулю, и расчет сводится к определению (q -1) узловых напряжений, существующих между остальными узлами и базисным.

Уравнения узловых напряжений в канонической форме при числе независимых узлов n =q -1 имеют вид

Коэффициент называется собственной проводимостью n -го узла. Собственная проводимость равна сумме проводимостей всех ветвей, присоединенных к узлу n .

Коэффициент называется взаимной или межузловой проводимостью. Она равна взятой со знаком «минус» сумме проводимостей всех ветвей, соединяющих напрямую узлы i и n .

Правая часть уравнений (9) называется узловым током, Узловой ток равен алгебраической сумме всех источников тока, подключенных к рассматриваемому узлу, плюс алгебраическая сумма произведений ЭДС источников на проводимость ветви с ЭДС

При этом со знаком «плюс» слагаемые записываются в том случае, если ток источника тока и ЭДС источника напряжения направлены к узлу, для которого составляется уравнение.

Приведенная закономерность определения коэффициентов существенно упрощает составление уравнений, которое сводится к записи симметричной матрицы узловых параметров

и вектора узловых токов источников

Уравнения узловых напряжений можно записать в матричной форме

Если в какой-либо ветви заданной схемы содержатся только идеальный источник ЭДС (сопротивление этой ветви равно нулю, т.е. проводимость ветви равна бесконечности), целесообразно в качестве базисного выбрать один из двух узлов, между которыми включена эта ветвь. Тогда потенциал второго узла становится также известным и равным по величине ЭДС (с учетом знака). В этом случае для узла с известным узловым напряжением (потенциалом) уравнение составлять не следует и общее число уравнений системы уменьшается на единицу.

Решая систему уравнений (9), определяем узловые напряжения, а затем по закону Ома определяем токи в ветвях. Так для ветви, включенной между узлами m и n ток равен

При этом с положительным знаком записываются те величины (напряжения, ЭДС), направление которых совпадает с выбранным координатным направлением. В нашем случае (11) – от узла m к узлу n . Напряжение между узлами определяется через узловые напряжения

Рассмотрим метод узловых напряжений на примере электрической цепи, схема которой представлена на рис. 4.

Определяем число узлов (в данном примере число узлов q =4) и обозначаем их на схеме.

Так как схема не содержит идеальных источников напряжения, то в качестве базисного может быть выбран любой узел, например узел 4.

При этом .

Для остальных независимых узлов схемы (q -1=3) составляем уравнения узловых напряжений в канонической форме.

Определяем коэффициенты уравнений.

Собственные проводимости узлов

Взаимные (межузловые) проводимости

Определяем узловые токи.

Для 1-го узла

Для 2-го узла

Для 3-го узла

Подставив значения коэффициентов (проводимостей) и узловых токов в уравнения (12), определяем узловые напряжения

Прежде чем перейти к определению токов ветвей, задаемся их положительным направлением и наносим на схему (рис. 5).

Токи определяем по закону Ома. Так, например, ток направлен от узла 3 к узлу 1. Так же направлена и ЭДС этой ветви. Следовательно

Токи остальных ветвей определяем по тому же принципу

Так как то

4. Принцип и метод наложения

Принцип наложения (суперпозиции) является выражением одного из основных свойств линейных систем любой физической природы и применительно к линейным электрическим цепям формулируется следующим образом: ток в какой-либо ветви сложной электрической цепи равен алгебраической сумме частичных токов, вызванных каждым действующим в цепи источником электрической энергии в отдельности.

Использование принципа наложения позволяет во многих схемах упростить задачу расчета сложной цепи, так как она заменяется несколькими относительно простыми цепями, в каждой из которых действует один источник энергии.

Из принципа наложения следует метод наложения, применяемый для расчета электрических цепей.

При этом метод наложения можно применять не только к токам, но и к напряжениям на отдельных участках электрической цепи, линейно связанных с токами.

Принцип наложения нельзя применять для мощностей, т.к. они являются не линейными, а квадратичными функциями тока (напряжения).

Принцип наложения не применим и к нелинейным цепям.

Рассмотрим порядок расчета методом наложения на примере определения токов в схеме рис. 5.

Выбираем произвольно направление токов и наносим их на схему (рис. 5).

Если бы предлагаемая задача решалась любым из методов (МЗК, МКТ, МУН), то необходимо было бы составлять систему уравнений. Метод наложения позволяет упростить решение задачи, сведя его фактически к решению по закону Ома.

Разбиваем данную схему на две подсхемы (по количеству ветвей с источниками).

В первой подсхеме (рис. 6) считаем что действует только источник напряжения, а ток источника тока J =0 (это соответствует разрыву ветви с источником тока).

Во второй подсхеме (рис. 7) действует только источник тока. ЭДС источника напряжения принимаем равной нулю E =0 (это соответствует закорачиванию источника напряжения).

Указываем направление токов на подсхемах. При этом следует обратить внимание на следующие: все токи, указанные на исходной схеме, должны быть указанны и на подсхемах. Например, в подсхеме рис.6 сопротивления и включены последовательно и по ним протекает один и тот же ток. Однако на схеме необходимо указывать токи и . цепей ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА 1.1 Основные...

Расчет разветвленных цепей постоянного тока

Контрольная работа >> Физика

Задание Необходимо решить задачу расчета токов во всех ветвях электрической цепи постоянного тока . Задание состоит из... двух частей. Первая часть задания Рассчитать токи ветвей методом ...

Методические указания по разделам курса

Электрические цепи постоянного тока . Электрическая цепь - это совокупность устройств, предназначенных для получения, передачи и преобразования в другие виды электрической энергии. Она состоит из источника и приемника электрической энергии, связанных соединительными проводами. Кроме этих элементов цепь включает в себя коммутационно-защитную аппаратуру и электроизмерительные приборы. Эти устройства служат для управления и контроля за работой цепи, а также для защиты ее элементов от перегрузок.

Основной задачей анализа электрических цепей является определение токов всех ветвей при заданной конфигурации цепи и известных параметрах всех ее элементов. При расчете токов часто изображают не реальную цепь, а ее схему замещения. Схема замещения - это графическое изображение реальной цепи с помощью идеальных элементов, параметрами которых являются параметры реальных элементов, входящих в цепь. На схеме замещения не указывают измерительные приборы, аппаратуру защиты и аппаратуру включения-выключения.

На схеме замещения различают ветви, узлы и контуры. Ветвь - это участок цепи, в любом сечении которого течет один и тот же ток. Узел - это точка, в которой сходится не менее трех ветвей. Контур - любой замкнутый путь для электрического тока.

Контур называется независимым, если он имеет хотя бы один элемент, принадлежащий только ему.

Элементы цепи могут включаться последовательно и параллельно. При последовательном включении во всех элементах протекает один и тот же ток. При параллельном включении элементы цепи подключаются к одной паре узлов.

Для расчета токов в ветвях цепи применяют законы Кирхгофа и Ома .

Первый закон Кирхгофа относится к узлу и гласит:

алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю.

где i - номер тока;

n - количество токов, сходящихся в узле.

Второй закон Кирхгофа относится к контуру, он гласит:

алгебраическая сумма ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме падений напряжений в том же контуре.

где i - номер ветви контура;

n - число ветвей, входящих в контур.

Законы Кирхгофа применяют для расчета сложных разветвленных цепей, включающих в себя несколько источников энергии. При этом необходимо составить p = m + (n-1) уравнений, где m - число независимых контуров, n - число узлов.

Выбрать направление обхода контуров (ошибок в дальнейшем будет меньше, если направление будет во всех контурах одинаковым).

Произвольно указать направление токов в ветвях цепи.

Составить необходимые уравнения по первому закону Кирхгофа.

Составить необходимые уравнения по второму закону Кирхгофа, считая положительными токи и ЭДС, совпадающие с направлением обхода контура.

Решить полученную систему уравнений любым известным методом.

Провести проверку правильности решения путем составления баланса мощностей.

Пример решения 1.

Для электрической цепи, изображенной на рис. 1.1., по данным значениям ЭДС источников и сопротивлениям резисторов найти величины токов во всех ветвях и их направления.

Е 1 =45 В; Е 2 =60 В; R 01 =0,1 Ом; R 02 =0,15 Ом; R 1 =R 2 =R 5 =2 Ом; R 3 =10 Oм; R 4 = 4 Ом.

Так как резисторы R 1 , R 5 и R 4 включены последовательно, то I 4 =I 5 =I 1 ; аналогично I 3 =I 02 =I 2 .

На основании первого закона Кирхгофа для узла “а” имеем I 1 +I 01 -I 2 =0.

На основании второго закона Кирхгофа для контура R 1 -R 5 -R 4 -Е 1 - R 01 -R 1 получаем I 1 (R 1 +R 5 +R 4)-I 01 R 01 =-E 1 .

Аналогично, для контура R 2 -R 01 -Е 1 - R 3 - Е 2 -R 02 -R 2:

I 2 (R 3 +R 02 +R 2)+I 01 R 01 =E 1 - Е 2 .

Подстановка значений ЭДС и сопротивлений дает систему уравнений:

I 1 +I 01 -I 2 =0

8I 1 -0,1I 01 +0I 2 =-45

0I 1 +0,1I 01 +12,15I 3 =-15

Решение системы уравнений дает:

I 1 =-5,57 A, I 01 =4,30 A, I 2 =-1,27 A.

Отрицательные значения токов I 1 и I 2 означают, что первоначально их направления были выбраны неверно и их направления на схеме надо сменить на противоположные.

Для проверки правильности решения необходимо составить баланс мощностей

Произведение E i I i берется со знаком “+”, если направления ЭДС и тока в ветви “i” совпадают. E 1 I 01 +E 2 I 2 =I 1 2 (R 1 +R 5 +R 4)+I 2 2 (R 3 +R 02 +R 2)+I 01 2 R 01 . Подстановка значений ЭДС, токов и сопротивлений и расчет дают: 269,7=269,7, т.е. задача решена верно.

При расчете сложных цепей с большим количеством источников энергии рациональнее использовать метод контурных токов , позволяющий почти вдвое сократить количество уравнений.

В методе контурных токов независимыми переменными являются контурные токи, условно замыкающиеся по элементам независимых контуров.

Чтобы найти контурные токи каждого независимого контура, необходимо составить уравнения второго закона Кирхгофа и решить полученную систему линейных уравнений. При расчете рекомендуется придерживаться следующей последовательности:

Выделить все независимые контуры.

Указать направления обхода контуров (лучше, если направления обхода всех контуров будет одним и тем же).

Указать направления контурных токов в каждом контуре (чтобы избежать ошибок при составлении уравнений, рекомендуется направления контурных токов выбирать совпадающими с направлениями обхода).

Для всех независимых контуров составить уравнения второго закона Кирхгофа.

Решить полученную систему уравнений.

Произвести проверку правильности ее решения.

По вычисленным значениям контурных токов определить величины токов в ветвях и их направления.

Составить баланс мощностей.

Рассмотрим решение на примере предыдущей задачи (рис.1.2.).

По признакам, данным в определении независимого контура, можно выделить следующие независимые контуры: R 1 -R 5 -R 4 -E 1 -R 01 -R 1 и R 2 -R 01 -E 1 -R 3 -E 2 -R 02 -R 2 . В соответствии с выбранными направлениями обхода и контурных токов запишем уравнения второго закона Кирхгофа

I k1 (R 01 +R 1 +R 5 +R 4)-I k2 R 01 =-E 1

I k1 R 01 +I k2 (R 01 +R 3 +R 02 +R 2)=E 1 -E 2 .

Подстановка значений сопротивлений и ЭДС и решение полученной системы уравнений дает: I к1 =-5,57 А, I к2 =-1,27 А.

Так как в наружной ветви R 1 -R 5 -R 4 протекает только контурный ток I к1 , то I 1 =I 4 =I 5 =5,57 A, а направление их противоположно направлению I к1 . Аналогично I 2 =I 3 =1,27 A.

В ветви R 01 -E 1 протекают два контурных тока в противоположных направлениях, поэтому для нахождения тока I 01 необходимо из большего контурного тока вычесть меньший и принять направления большего, т.е.

I 01 =I k2 -I k1 =-1,27-(-5,57)=4,3 A.

Баланс мощностей составляется как в предыдущей задаче.

Цепи с одним источником энергии можно рассчитать, пользуясь только законом Ома путем эквивалентного преобразования цепи.

Пример решения 2.

Рассмотрим расчет на примере цепи, представленной на рис. 1.3.

Для цепи, представленной на рис. 1.3, найти токи во всех ветвях, определить ЭДС источника Е и показания приборов, если: R 0 =0,15 Ом; R 1 =0,7 Oм; R 2 =40 Ом; R 3 =8 Ом; R 4 =4 Ом; R 5 =2,4 Ом; R 6 =4 Ом; I 2 =0,25 А.

1. В соответствии с положительным направлением ЭДС-Е укажем направления токов во всех ветвях.

2. По закону Ома для участка цепи найдем напряжение на резисторе R 2

U 2 =I 2 R 2 =0,25*40=10 В.

3. Так как R 3 и R 2 подключены к одной паре узлов a-b, то напряжение на резисторе R 3 равно U 2 , и тогда I 3 можно найти по закону Ома для участка цепи.

4. На основании первого закона Кирхгофа для узла”b” имеем:

I А =I 2 +I 3 =0,25+1,25=1,5 A.

5. Если сопротивлением амперметра пренебречь, то напряжение на участке R 4 -R 5 будет равно U 2 и тогда

6. На основании первого закона Кирхгофа для узла “a” можно записать:

I 6 =I 2 +I 3 +I 4 =0,25+1,25+1,56=3,06 A.

7. На участке R 1 -R 0 -E-R 6 все элементы включены последовательно и тогда

I 6 =I 1 =3,06 А.

U 6 =I 6 R 6 =3,06*4=12,24 B.

9. На основании второго закона Кирхгофа показание вольтметра Uv=U 6 +U 2 =12,24+10=22,24 B.

10. На основании второго закона Кирхгофа ЭДС источника

E=I 1 R 0 +I 1 R 1 +U ad =3,06*0,15+3,06*0,7+22,24=24,84.

Проверка правильности решения осуществляется по балансу мощностей как указано ранее.

Электрические цепи переменного тока . Ток, величина и направление которого изменяются во времени, называется переменным. Из всего многообразия переменных токов наибольшее распространение получил ток, изменяющийся по синусоидальному закону. Синусоидальные токи возникают в цепях под действием синусоидальных ЭДС и напряжений.

Значение синусоидального тока в данный момент времени называется мгновенным (обозначается i).

Максимальное значение синусоидального тока называется амплитудным (обозначается I m).

Действующим значением синусоидального тока называется такой постоянный ток, который за время одного периода выделяет такое же количество тепла, что и данный переменный ток (обозначается I). В действующих значениях градуированы вольтметры и амперметры. Действующие и амплитудные значения связаны следующим соотношением:

При анализе электрического состояния цепей расчет токов ведут либо для действующих, либо для амплитудных значений. Наиболее общим методом расчета цепей синусоидального тока является символический . В этом случае синусоидальная величина изображается вращающимся вектором, положение которого на комплексной плоскости в данный момент времени описывается комплексным числом (символом).

Существует три формы записи комплексного числа: алгебраическая, показательная и тригонометрическая.

В алгебраической форме комплексное число записывается в виде многочлена, например

где a - проекция вектора на ось действительных величин;

b - проекция вектора на ось мнимых величин;

j - мнимая единица.

Алгебраическая форма записи удобна для сложения и вычитания комплексных чисел.

В показательной форме комплексное число записывается в виде

A =Ae j j ,

где - модуль комплексного числа.

j=arctg b/a - угол, образуемый вектором с положительным направлением оси действующих величин.

Показательная форма записи удобна для умножения и деления комплексных чисел.

В тригонометрической форме комплексное число записывается в виде многочлена

A =ACosj+jASinj.

Тригонометрическая форма записи позволяет легко перейти от показательной формы записи к алгебраической. При символическом расчете все уравнения для цепей постоянного тока остаются справедливыми и для цепей переменного тока с той только разницей, что все величины, входящие в них, берутся в комплексной форме.

Пример решения 3.

Для цепи, изображенной на рис. 1.4., по данным значениям напряжения и сопротивлений определить показания приборов, а также полную и реактивную мощности, построить векторную диаграмму.

Начальную фазу напряжения принимают равной нулю, тогда комплекс приложенного напряжения будет равен

U =127 e jo В.

Комплекс полного сопротивления последовательно соединенных элементов R, L и C

Z =R+j(X L -X c).

Отсюда комплексы полного сопротивления ветвей

Z 1 =jX L1 =j5=5e j90 Ом

Z 2 =R 2 -jX c2 =3-j4=5e -j53 Ом.

По закону Ома определяют комплексы токов в ветвях

Действительная часть комплексной мощности есть активная мощность Р, а мнимая часть - реактивная мощность Q.

Построение векторной диаграммы начинают с выбора масштаба по току и напряжению.

В выбранных масштабах откладывают векторы напряжения и токов в соответствии с рассчитанными значениями. Отсчет углов ведут от оси +1. Положительные углы откладывают в направлении, противоположном движению часовой стрелки. Вектор тока в неразветвленной части цепи находят сложением векторов тока I 1 и I 2 .

Пример решения 4.

В цепи, представленной на рис.1.6., действует напряжение u=U m Sinwt, частотой 50 Гц. Найти показания приборов, реактивную и полную мощности, построить векторную диаграмму, если U m =282 B, R=3 Ом, L=19,1 мГн, С=1592,4 мкФ.

1. Так как вольтметр градуирован в действующих значениях, напряжение на зажимах цепи будет равно:

2. Реактивное сопротивление индуктивности L

Комплекс индуктивного сопротивления

jX L =j6=6e j90 Ом.

3. Реактивное сопротивление емкости С

Комплекс емкостного сопротивления

JX c =-j2=2e -j90 Ом.

4. Комплекс полного сопротивления цепи

Z =R+j(X L -X c)=3+j(6-2)=3+j4=5e j arctg4/3 =5e j53 Ом.

5. Начальную фазу напряжения, приложенного к зажимам цепи, принимают равной нулю, тогда комплекс напряжения на зажимах цепи

U =200e jo B.

6. Комплекс тока находится по закону Ома

I =U /Z =200e j0 /(5e j53)=40e -j53 A.

Показание амперметра I A =40 A.

7. Комплекс напряжения на участке R

Показание вольтметра на участке R

8. Комплекс напряжения на участке L

U L =I jX L =40e -j53 6e j90 =240e j37 B.

Показание вольтметра на участке L

9. Комплекс напряжения на участке С

U C =80 B.

10. Комплексная полная мощность цепи:

Полная мощность S=8000 ВА.

Действительная часть комплексной полной мощности есть показание ваттметра

Мнимая часть комплексной полной мощности есть мощность реактивная

11. Разность фаз между напряжением и током:

j=j U - j I =0-(-53)=53 0 .

12. Показание фазометра

Cosj=Cos53= 0,602.

При построении векторной диаграммы в выбранных масштабах тока и напряжения строят векторы тока и напряжений, комплексы которых рассчитаны. Положительные углы отсчитываем от оси действительных величин в направлении, противоположном движению часовой стрелки.

Вектор напряжения, приложенного к зажимам цепи, находится путем сложения U R , U L и U c по правилам сложения векторов.

Трехфазные электрические цепи . Совокупность электрических цепей, в которых одним источником энергии создаются три синусоидальные электродвижущие силы одинаковой частоты и амплитуды, векторы которых сдвинуты относительно друг друга на угол 120 0 , называется трехфазной системой или трехфазной цепью . Каждая из цепей, входящих в трехфазную систему, называется фазой ; обозначения фаз - А, В,С. Токи, протекающие в фазах приемника, называются фазными .

Трехфазные приемники могут быть включены звездой или треугольником ; они могут быть симметричными или несимметричными. Приемник называется симметричным , если комплексы полных сопротивлений его фаз равны, т.е. Z a =Z b =Z c .

Звезда - это такое соединение, при котором концы фаз, обозначаемые буквами x, y, z, соединяются в один узел, который называется нейтральной точкой , а начала фаз, обозначаемые буквами a, b, c, соединяются с источником. Нейтральная точка приемника соединяется с нейтральной точкой источника.

Провода, соединяющие начала фаз приемника и источника, называются линейными ; в них протекают линейные токи . Провод, соединяющий нейтральные точки, называется нейтральным , или нулевым.

Треугольник - это такое соединение, при котором конец предыдущей фазы соединяется с началом последующей.

Одним из достоинств трехфазных систем является наличие двух рабочих напряжений - фазного и линейного.

Фазным напряжением называется напряжение между началом и концом одной и той же фазы.

Линейным напряжением называется напряжение между началами двух фаз.

Для приемников, включенных по схеме ”звезда” с нейтральным проводом, выполняются следующие соотношения:

I л =I ф U л = .

Ток в нейтральном проводе может быть найден также из векторной диаграммы.

Для приемников, включенных по схеме “треугольник”, выполняются соотношения:

U л =U ф I л = .

Однако, если приемник несимметричный , линейные токи указанному соотношению не подчиняются и могут быть найдены либо аналитически, как разности комплексов фазных токов

либо из векторной диаграммы.

Здесь , , - комплексы токов в линейных проводах;

Комплексы фазных токов в фазах приемника.

При расчете комплексов токов в фазах приемника, они определяются отдельно для каждой фазы на основании закона Ома.

I a =U a /Z a ; I b =U b /Z b ; I c =U c /Z c .

Здесь , , - комплексы фазных напряжений,

Z a , Z b , Z c - комплексы полных сопротивлений фаз.

Пример решения 5.

Для активно-индуктивного приемника, включенного по схеме “звезда” с нейтральным проводом (рис.1.8.) в сеть с линейным напряжением U л =380 В, найти фазные и линейные токи, а также ток в нейтральном проводе, активные мощности отдельных фаз и активную мощность приемника, если R a =3 Ом, R b =4 Ом, R с =6 Ом, X а =4 Ом, X b =3 Ом, X с =8 Ом.

1. Находят действующее значение фазного напряжения

2. Начальную фазу напряжения в фазе “а” принимают равной нулю, тогда комплексы фазных напряжений будут:

4. Вычисляют комплексы фазных токов

I a =U a /Z a =220e j0 /(5e j53)=44e -j53 A.

I b =U b /Z b =220e -j120 /(5e j37)=44e -j157 A.

I c =U c /Z c =220e j120 /(10e j53)=22e j67 A..

5. Так как приемник включен “звездой”, линейные токи равны фазным.

6. Находят ток в нейтральном проводе

Действующее значение тока в нейтральном проводе:

7. Определяют комплексные полные мощности фаз приемника

Активная мощность фазы “а”: Р а =5825 Вт.

Реактивная мощность фазы “а”: Q а =7730 Вар.

Активная мощность фазы “b”: Р b =7730 Вт.

Реактивная мощность фазы “b”: Q b =5825 Вар.

Активная мощность фазы “c”: Р c =2912 Вт.

Реактивная мощность фазы “c”: Q c =3865 Вар.

8. Вычисляют активную мощность приемника.

Активная мощность трехфазного приемника равна сумме активных мощностей отдельных фаз.

Р=Р а +Р b +Р c =5825+7730+2912=16469 Вт.

Для удобства построения векторной диаграммы поворачивают оси координат на 90 0 в направлении, противоположном движению часовой стрелки.

В выбранном масштабе откладываются векторы фазных напряжений. Векторы фазных напряжений строят в соответствии с расчетными значениями комплексов фазных токов. Положительные углы откладывают в сторону, противоположную движению часовой стрелки, от оси действительных величин. Вектор тока в нейтральном проводе находится сложением векторов фазных токов по правилам сложения векторов.

Ниже записать полный номер группы (например, 3АСУ-2ДБ-202), фамилию и И. О. студента, полный код расчётного варианта, например, КР6-13 – код 13-го варианта заданий курсовой работы КР6.

Внизу листа (по центру) записать имя города и текущий год.

2. На следующей странице представляется «Аннотация» выполненной работы (не более 2/3 страницы) с краткой характеристикой расчётных схем цепей, используемых методов (законов, правил и т.п.) анализа схем цепей и полученных результатов выполнения заданий.

Например, аннотация к выполненному первому заданию.

"В задании 1 проведен расчёт сложной электрической цепи постоянного тока с двумя источниками напряжения и шестью ветвями. При анализе схемы и её расчёте использованы следующие методы: метод законов Кирхгофа, метод узловых напряжений (двух узлов), обобщённый закон Ома и метод эквивалентного генератора. Правильность результатов расчёта подтверждена построением потенциальной диаграммы второго контура цепи и выполнением условия баланса мощностей".

Аналогично даётся аннотация выполненных 2-го и 3-го заданий работы.

3. На третьей странице записывается тема задания 1 курсовой работы и под ней (в скобках) код расчётного варианта задания, например, КР6.1-13. Ниже вычерчивается (с соблюдением ГОСТа 2.721-74) электрическая схема цепи и под ней выписываются из таблицы 6.1 исходные данные для расчёта заданного варианта, например: Е 1 = 10 B, Е 2 = 35 B, R 1 = 15 Ом, R 2 = ... и т.д.

4. Далее, выполняется поэтапный расчёт схемы цепи с соответствующими заголовками каждого этапа (шага), с вычерчиванием необходимых расчётных схем с условно положительными направлениями токов и напряжений ветвей, с записью уравнений и формул в общем виде с последующей подстановкой численных значений входящих в формулы физических величин и с записью промежуточных результатов расчёта (для поиска возможных ошибок в расчёте преподавателем). Результаты расчётов следует округлять, оставляя не более четырех-пяти значащих цифр, выражая числа с плавающей запятой, если они велики или малы.

В н и м а н и е! При вычислении значений исходных данных для расчёта схем цепей (действующих значений ЭДС Е , значений полных сопротивлений Z ветвей) рекомендуется округлить их значения до целых чисел, например Z = 13/3 » 4 Ом.

5. Диаграммы и графики вычерчиваются на миллиметровой бумаге (или на листах с мелкой сеткой при выполнении работы на ПК) по ГОСТ с использованием равномерных масштабов по осям и с указанием размерностей. Рисунки и диаграммы должны быть пронумерованы и снабжены надписью, например, Рис. 2.5. Векторная диаграмма напряжений и токов электрической цепи. Нумерация как рисунков, так и формул – сквозная на всех трёх заданиям!

7. Сдавать на проверку преподавателю отчёты по каждому заданию рекомендуется на скреплённых листах форматом А4 с последующим их брошюрованием перед защитой работы.

8. По результатам расчётов и графических построений формулируются выводы по каждому заданию или в конце отчёта – по всей работе. На последней странице отчета студент ставит свою подпись и дату завершения выполнения работы.

В н и м а н и е!

1. Небрежно оформленные работы возвращаются студентам для переоформления. Также преподаватель возвращает отдельным студентам отчеты на доработку с пометками ошибок на листах или с перечнем замечаний и рекомендаций по исправлению ошибок на титульном листе.

2. После защиты курсовых работ, пояснительные записки студентов групп с отметкой и подписью преподавателя (двух преподавателей) на титульных листах, занесенных также в соответствующую ведомость и в зачётные книжки студентов, сдаются на кафедру для хранения в течение двух лет.

П р и м е ч а н и е. При составлении таблицы 6.1. Варианты задания 1 использовалась программа Variant 2, разработанная доц., к.т.н. Румянцевой Р.А. (РГГУ, г. Москва), а варианты задания 6.2 и задания 6.3. взяты (с согласия авторов) из работы: Антоновой О.А., Карелиной Н.Н., Румянцевой М.Н. Расчёт электрических цепей (методические указания к курсовой работе по курсу "Электротехника и электроника". – М.: МАТИ, 1997 г.

Задание 1

АНАЛИЗ И РАСЧЁТ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

ПОСТОЯННОГО ТОКА

Для заданного в таблице 6.1 варианта:

6.1.1. Выписать значения параметров элементов цепи и вычертить в соответствии с ГОСТ расчётную схему цепи с обозначением условно положительных направлений токов и напряжений ветвей. Выбор обобщенной схемы цепи (рис. 1: а , б , в или г ) осуществляется следующим образом. Если заданный преподавателем для выполнения КР6 студенту номер варианта N делится на 4 без остатка (и в варианте №1), то рассчитывается схема рис. 1а ; при остатке 1 (и в варианте №2) рассчитывается схема рис. 1б ; при остатке 2 (и в варианте №3) - схема рис. 1в ; и, наконец, при остатке 3 рассчитывается схема рис. 1г .

6.1.2. Провести топологический анализ схемы цепи (определить число ветвей, узлов и независимых контуров).

6.1.3. Составить необходимое для расчёта цепи число уравнений по первому и второму законам Кирхгофа.

6.1.4. Упростить схему цепи посредством замены пассивного треугольника схемы эквивалентной звездой, рассчитав сопротивления её лучей (ветвей).

6.1.7. Выполнить проверку расчёта токов и напряжений всех шести ветвей исходной цепи построением в масштабе потенциальной диаграммы одного из контуров, в ветви которого включен хотя бы один источник напряжения, и подтверждением выполнения условия баланса мощностей.

6.1.8. Провести проверку правильности расчёта задания 1 (совместно с преподавателем) посредством сравнения полученных данных с данными, рассчитанными по программе Variant, установленной на компьтере в специализированной лаборатории (классе) кафедры. Краткая инструкция по работе с программой выводится на рабочее поле дисплея вместе с интерфейсом программы.

6.1.9. Сформулировать выводы по результатам выполненного задания 1.

Таблица 6.1

Варианты задания 1 курсовой работы КР6

№ вар	E 1 , B	E 2 , B	E 3 , B	E 4 , B	E 5 , B	E 6 , B	R 1 , Ом	R 2 , Ом	R 3 , Ом	R 4 , Ом	R 5 , Ом	R 6 , Ом	Ветвь для МЭГ
		--	--		--	--
	--	--	--			--
		--		--	--	--
	--		--		--	--
	--	--	--			--
	--	--		--	--
			--	--	--	--
	--	--	--		--
	--	--		--		--		16-		10-
	--		--		--	--
	--	--	--		--
		--	--	--		--
		--		--	--	--
	--		--	--		--
	--	--		--		--
	--	--	--		--
		--	--	--	--
	--	--			--	--
	--	--		--	--
		--	--	--		--
	--			--	--	--
		--		--	--	--
	--			--	--	--
		--	--	--		--
	--	--	--	--
		--	--	--	--
		--		--	--	--
	--	--	--	--
		--	--		--	--
	--		--		--	--
	--	--		--	--
	--		--		--	--
	--	--		--		--
	--	--		--		--
Таблица 6.1 (продолжение )
№ вар	E 1 , B	E 2 , B	E 3 , B	E 4 , B	E 5 , B	E 6 , B	R 1 , Ом	R 2 , Ом	R 3 , Ом	R 4 , Ом	R 5 , Ом	R 6 , Ом	Ветвь для МЭГ
		--	--		--	--
	--	--	--	--
	--			--	--	--
		--	--	--	--
	--	--	--		--
			--	--	--	--
		--	--	--	--
	--	--	--			--
	--	--		--		--
		--	--		--	--
	--			--	--	--
		--	--		--	--
	--	--	--	--
	--	--		--	--
	--	--	--	--
		--	--		--	--
		--		--	--	--
	--	--		--	--
		--	--		--	--
	--	--		--	--
			--	--	--	--
		--	--		--	--
	--	--	--		--
	--	--	--			--
	--	--	--		--
		--	--	--	--
	--	--		--		--		10-		16-
			--	--	--	--
	--	--		--		--
	--	--	--			--
		--		--	--	--
	--	--		--		--
	--	--		--	--
		--	--		--	--
	--			--	--	--

Таблица 6.1 (продолжение )

№ вар.

E 1 , B

E 2 , B

E 3 , B

E 4 , B

E 5 , B

E 6 , B

R 1 , Ом

R 2 , Ом

R 3 , Ом

R 4 , Ом

R 5 , Ом

R 6 , Ом

Ветвь для МЭГ

Прочерк (--) в полях таблицы означает отсутствие данного источника напряжения E k в схеме цепи