Фурье-изображения - комплексные коэффициенты ряда Фурье F (j w k ) периодического сигнала (1) и спектральная плотность F (j w) непериодического сигнала (2) - обладают рядом общих свойств.

1. Линейность . Интегралы (1) и (2) осуществляют линейное преобразование функции f (t ). Поэтому Фурье-изображение линейной комбинации функций равно аналогичной линейной комбинации их изображений. Если f (t ) = a 1 f 1 (t ) + a 2 f 2 (t ), то F (j w) = a 1 F 1 (j w) + a 2 F 2 (j w), где F 1 (j w) и F 2 (j w) - Фурье-изображения сигналов f 1 (t ) и f 2 (t ), соответственно.

2. Задержка (изменение начала отсчета времени для периодических функций). Рассмотрим сигнал f 2 (t ), задержанный на время t 0 относительно сигнала f 1 (t ), имеющего такую же форму: f 2 (t ) = f 1 (t – t 0). Если сигнал f 1 имеет изображение F 1 (j w), то Фурье-изображение сигнала f 2 равно F 2 (j w) = = . Домножив и разделив на , сгруппируем члены следующим образом:

Поскольку последний интеграл равен F 1 (j w), то F 2 (j w) = e -j wt 0 F 1 (j w). Таким образом, при задержке сигнала на время t 0 (изменении начала отсчета времени) модуль его спектральной плотности не изменяется, а аргумент уменьшается на величину wt 0 , пропорциональную времени задержки. Поэтому амплитуды спектра сигнала не зависят от начала отсчета, а начальные фазы при задержке на t 0 уменьшаются на wt 0 .

3. Симметрия . Для действительного f (t ) изображение F (j w) обладает сопряженной симметрией: F (– j w) = . Если f (t ) - четная функция, то Im F (j w) = 0; для нечетной функции Re F (j w) = 0. Модуль |F (j w)| и вещественная часть Re F (j w) - четные функции частоты, аргумент arg F (j w) и Im F (j w) - нечетные.

4. Дифференцирование . Из формулы прямого преобразования, интегрируя по частям, получим связь изображения производной сигнала f (t ) с изображением самого сигнала

Для абсолютно интегрируемой функции f (t ) внеинтегральный член равен нулю, и, следовательно, при , а последний интеграл представляет Фурье-изображение исходного сигнала F (j w). Поэтому Фурье-изображение производной df /dt связано с изображением самого сигнала соотношением j wF (j w) - при дифференцировании сигнала его Фурье-изображение умножается на j w. Это же соотношение справедливо и для коэффициентов F (j w k ), которые определяются интегрированием в конечных пределах от – T /2 до + T /2. Действительно, произведение в соответствующих пределах

Поскольку вследствие периодичности функции f (T /2) = f (– T /2), а = = = (– 1) k , то и в этом случае внеинтегральный член пропадает, и справедлива формула

где стрелкой символически обозначена операция прямого преобразования Фурье. Это соотношение обобщается и на многократное дифференцирование: для n -й производной имеем: d n f /dt n (j w) n F (j w).

Полученные формулы позволяют найти Фурье-изображение производных функции по ее известному спектру. Эти формулы удобно также применять в случаях, когда в результате дифференцирования приходим к функции, Фурье-изображение которой вычисляется более просто. Так, если f (t ) - кусочно-линейная функция, то ее производная df /dt - кусочно-постоянная, и для нее интеграл прямого преобразования находится элементарно. Для получения спектральных характеристик интеграла функции f (t ) ее изображение следует разделить на j w.

5. Дуальность времени и частоты . Сопоставление интегралов прямого и обратного преобразований Фурье приводит к выводу о их своеобразной симметрии, которая становится более очевидной, если формулу обратного преобразования переписать, перенося множитель 2p в левую часть равенства:

Для сигнала f (t ), являющегося четной функцией времени f (– t ) = f (t ), когда спектральная плотность F (j w) - вещественная величина F (j w) = F (w), оба интеграла можно переписать в тригонометрической форме косинус-преобразования Фурье:

При взаимной замене t и w интегралы прямого и обратного преобразований переходят друг в друга. Отсюда следует, что если F (w) представляет спектральную плотность четной функции времени f (t ), то функция 2pf (w) является спектральной плотностью сигнала F (t ). Для нечетных функций f (t ) [f (t ) = – f (t )] спектральная плотность F (j w) чисто мнимая [F (j w) = jF (w)]. Интегралы Фурье в этом случае приводятся к виду синус-преобразований, из которых следует, что если спектральная плотность jF (w) соответствует нечетной функции f (t ), то величина j 2pf (w) представляет спектральную плотность сигнала F (t ). Таким образом, графики временной зависимости сигналов указанных классов и его спектральной плотности дуальны друг другу.

Интеграл (1)

Интеграл (2)

В радиотехнике широко используется спектральное и временное представление сигналов. Хотя сигналы по своей природе являются случайными процессами, однако, отдельные реализации случайного процесса и некоторые специальные (например, измерительные) сигналы можно считать детерминированными (то есть известными) функциями. Последние принято делить на периодические и непериодические, хотя строго периодических сигналов не существует. Сигнал называется периодическим, если он удовлетворяет условию

на интервале времени ,где Т - постоянная величина, называемая периодом, а k-любое целое число.

Простейшим примером периодического сигнала является гармоническое колебание (или коротко гармоника).

где - амплитуда, = - частота, - круговая частота, - начальная фаза гармоники.

Важное значение понятия гармоники для теории и практики радиотехники объясняется рядом причин:

1. гармонические сигналы сохраняют свою форму и частоту при прохождении через стационарные линейные электрические цепи (например, фильтры), меняя лишь амплитуду и фазу;
2. гармонические сигналы достаточно просто вырабатываются (например, при помощи автогенераторов LC).

Непериодическим сигналом называется сигнал, который отличен от нуля на конечном интервале времени. Непериодический сигнал можно рассматривать как периодический, но с бесконечно большим периодом. Одной из основных характеристик непериодического сигнала является его спектр. Спектром сигнала называют функцию, показывающую зависимость интенсивности различных гармоник в составе сигнала, от частоты этих гармоник. Спектр периодического сигнала - это зависимость коэффициентов ряда Фурье от частоты гармоник, которым эти коэффициенты соответствуют. Для непериодического сигнала спектр - это прямое преобразование Фурье сигнала. Итак, спектр периодического сигнала - это дискретный спектр (дискретная функция частоты), в то время как для непериодического сигнала характерен сплошной спектр (непрерывный) спектр.

Обратим внимание на то, что дискретный и непрерывный спектры имеют разные размерности. Дискретный спектр имеет ту же размерность, что и сигнал, в то время как размерность непрерывного спектра равна отношению размерности сигнала к размерности частоты. Если, например, сигнал представлен электрическим напряжением, то дискретный спектр будет измеряться в вольтах [B], а непрерывный - в вольт на герц [ B/Гц]. Поэтому для непрерывного спектра употребляют также термин "спектральная плотность".

Рассмотрим сначала спектральное представление периодических сигналов. Из курса математики известно, что любую периодическую функцию, удовлетворяющую условиям Дирихле (одним из необходимых является условие, чтобы энергия была конечной), можно представить рядом Фурье в тригонометрической форме:

где определяет среднее значение сигнала за период и называется постоянной составляющей. Частота называется основной частотой сигнала (частота первой гармоники), а кратные ей частоты - высшими гармониками. Выражение (3) можно представить в виде:

Обратные зависимости для коэффициентов а и b имеют вид

На рисунке 1 приведен типичный вид графика спектра амплитуд периодического сигнала для тригонометрической формы ряда (6):

С использованием выражения (формула Эйлера).

вместо (6) можно записать комплексную форму ряда Фурье:

где коэффициент называются комплексными амплитудами гармоник, значения которых, как следует из (4) и формулы Эйлера, определяется выражением:

Сравнивая (6) и (9), замечаем, что при использовании комплексной формы записи ряда Фурье отрицательные значения k позволяют говорить о составляющих с "отрицательными частотами". Однако, появление отрицательных частот имеет формальный характер и связано с использованием комплексной формы записи для представления действительного сигнала.

Тогда вместо (9) получим:

имеет размерность [амплитуда/герц] и показывает амплитуду сигнала, приходящуюся на полосу в 1 Герц. Поэтому эта непрерывная функция частоты S(jw) называется спектральной плотностью комплексных амплитуд или просто спектральной плотностью. Отметим одно важное обстоятельство. Сравнивая выражения (10) и (11) замечаем, что при w=kwo они отличаются лишь постоянным множителем, а

т.е. комплексные амплитуды периодической функции с периодом Т можно определить по спектральной характеристике непериодической функции такой же формы, заданной в интервале . Сказанное справедливо и по отношению к модулю спектральной плотности:

Из этого соотношения следует, что огибающая сплошного амплитудного спектра непериодического сигнала и огибающая амплитуд линейчатого спектра периодического сигнала совпадают по форме и отличаются лишь масштабом. Вычислим теперь энергию непериодического сигнала. Умножая обе части неравенства (14) на s(t) и интегрируя в бесконечных пределах, получим:

где S(jw) и S(-jw) - комплексно-сопряженные величины. Так как

Это выражение называется равенством Парсеваля для непериодического сигнала. Оно определяет полную энергию сигнала. Отсюда следует, что есть не что иное, как энергия сигнала, приходящаяся на 1 Гц полосы частот около частоты w. Поэтому функцию иногда называют спектральной плотностью энергии сигнала s(t). Приведем теперь без доказательства несколько теорем о спектрах, выражающих основные свойства преобразования Фурье.

Периодических сигналов, естественно, не существует, так как любой реальный сигнал имеет начало и конец. Однако при анализе сигналов в установившемся режиме можно исходить из предположения, что они существуют бесконечно долго и принять в качестве математической модели таких сигналов периодическую функцию времени. Далее рассматривается представление таких функций, как в виде суммы экспоненциальных составляющих, так и с преобразованием их в гармонические.

Пусть функция u(t), заданная в интервале времени и удовлетворяющая условиям Дирихле, повторяется с периодомT = 2/= t 2 -t 1 на протяжении времени от - до +.

Условия Дирихле : на любом конечном интервале функция должна быть непрерывной или иметь конечное число точек разрыва первого рода, а также конечное число экстремальных точек. В точках разрыва функциюu(t) следует считать равной.

Если в качестве базисных выбраны экспоненциальные функции, то выражение (1.5) запишем в виде

Соотношение (1.15) представляет собой ряд Фурье в комплексной форме, содержащий экспоненциальные функции как с положительным, так и с отрицательным параметром? (двустороннее частотное представление). Составляющие с отрицательными частотами являются следствием комплексной формы записи вещественной функции.

Функцию A(jk? 1) принято называть комплексным спектром периодического сигналаu(t). Этот спектр дискретный, так как функцияA(jk? 1) определена на числовой оси только для целых значенийk. Значение функцииA(jk? 1) при конкретномk называют комплексной амплитудой.

Огибающая комплексного спектра A(j?) имеет вид

Запишем комплексный спектр в форме

Модуль комплексного спектра A(k? 1) называют спектром амплитуд, а функцию?(k? 1) - спектром фаз.

Если известны спектр амплитуд и спектр фаз сигнала, то в соответствии с (1.15) он восстанавливается однозначно. В практических приложениях более значимым является спектр амплитуд, а информация о фазах составляющих часто несущественна.

Поскольку A(k? 1) и?(k? 1) отличны от нуля только при целыхk, спектры амплитуд и фаз периодического сигнала являются дискретными.

Воспользовавшись формулой Эйлера е - jk ? t =cosk?t - j sink?t, выразим комплексный спектрA(jk? 1) в виде действительной и мнимой частей:

Спектр амплитуд является четной функцией k, т.е.

Поскольку четность A k и В k , противоположна, спектр фаз функция нечетная, т. е.

При k = 0 получаем постоянную составляющую

От двустороннего спектрального представления легко перейти к одностороннему (не имеющему отрицательных частот), объединяя комплексно-сопряженные составляющие [см. (1.14)]. В этом случае получаем ряд Фурье в тригонометрической форме. Действительно, выделив в (1.15) постоянную составляющую A 0 /2 и суммируя составляющие симметричных частот? и -?, имеем

Учитывая соотношения (1.15) и (1.16), запишем

Воспользовавшись формулой Эйлера (1.14) и обозначив?(k? 1) через? k , окончательно получим

Распространена и другая тригонометрическая форма ряда Фурье, имеющая вид

Однако она менее удобна для практического применения. Отдельные составляющие в представлениях (1.23) и (1.24) называют гармониками. Как спектр амплитуд, так и спектр фаз периодического сигнала удобно представлять наглядно спектральными диаграммами. На диаграмме спектра амплитуд каждой гармонике ставится в соответствие вертикальный отрезок, длина которого пропорциональна амплитуде, а расположение на оси абсцисс отвечает частоте этой составляющей. Аналогично на диаграмме спектра фаз обозначают значения фаз гармоник. Поскольку в результате спектры отображаются совокупностями линий, их часто называют линейчатыми.

Отметим, что дискретный (линейчатый) спектр не обязательно должен принадлежать периодическому сигналу. Спектр периодического сигнала характеризует совокупность гармоник, кратных основной частоте??. Линейчатые спектры, включающие гармоники некратных частот, принадлежат так называемым почти периодическим сигналам. Диаграмма спектра амплитуд периодического сигнала показана на рис. 1.4. ОгибающуюA(t) этого спектра амплитуд можно получить, заменивk? 1 вA(k? 1) на?, где? = k? 1 дляk-й гармоники.

Пример 1.1 . Определить спектры амплитуд и фаз периодической последовательности прямоугольных импульсов длительностью? и амплитудойu 0 , следующих с частотой? 1 = 2?/? (рис. 1.5).

Функция u(t), описывающая такую последовательность импульсов на периоде, может быть задана в виде:

В соответствии с (1.16) имеем или

Амплитуды гармоник, включая постоянную составляющую, равную А 0 /2, определим из выражения при k = О, 1, 2, ....

Выбор начала отсчета времени на их величину не влияет. Огибающая спектра амплитуд определяется видом функции

При? = 0 получаем

Характер изменения амплитуд диктуется функциейsin х/х и не зависит от частоты следования импульсов. На частотах, кратных2?/?, огибающая спектра равна нулю.

На рис. 1.6 приведена диаграмма спектра амплитуд для случая

?/? = 3[? 1 = 2?/(3?)]. Число составляющих в спектре бесконечно велико. Крутизна фронтов импульсов обусловлена наличием в спектре составляющих с частотами, существенно превышающими основную частоту? 1 .

Опираясь на формулу (1.29) и принимая во внимание, что знаки функции sin(k? 1 /2) на последовательности интервалов частот?? = 2?/? чередуются, выражение для спектра фаз запишем следующим образом:

где n - номер интервала частот? = 2?/?, отсчитываемого от? = 0.

Спектр фаз зависит от выбора начала отсчета. Если передний фронт прямоугольного импульса последовательности приходится на начало отсчета времени, то на каждом интервале?? = 2?/? фазы составляющих возрастают линейно. Диаграмма спектра фаз последовательности прямоугольных импульсов для этого случая(?/? = 3,t 1 = 0) показана на рис. 1.7.

Пример 1.2 . Вычислить несколько первых членов ряда Фурье для периодической последовательности прямоугольных импульсов и проследить, как их гумма сходится к указанному сигналу.

Воспользуемся результатами предыдущего примера для случая широко используемой на практике периодической последовательности импульсов, у которых длительность? равна половине периода Т. Примем такжеt 1 = 0.

По формуле (1.32) определим постоянную составляющую, а по формулам (1.30) и (1.33) - амплитуды и фазы пяти первых гармоник. Данные расчетов сведены в табл. 1.1. Четные гармоники в табл. 1.1 не указаны, так как они равны нулю.

Таблица 1.1

Суммируя указанные составляющие, получим последовательность импульсов (рис. 1.8), отличающихся от прямоугольных в основном недостаточно высокой крутизной фронтов.

Отметим, что крутизна фронтов импульсов обусловлена наличием в их спектре составляющих с частотами, многократно превышающими основную частоту.

Цель работы- ознакомление с принципами измерения спектрального состава электрических сигналов, получение навыков работы с анализаторами спектра, измерение спектрального состава электрических сигналов.

Программа работы.

• 1. Проверка основных технических характеристик анализатора спектра.
• 2. Измерение спектрального состава периодических импульсных сигналов.
• 3. Измерение спектрального состава модулированных колебаний.

Основные положения.

Спектральный состав электрических сигналов. Для анализа формы электрических сигналов широко используют измерение их спектрального состава (частотного). Сложные периодические сигналы полностью описываются амплитудами и фазами их спектральных составляющих, однако в большинстве случаев достаточно иметь информацию об амплитуде и частоте составляющих спектра сигнала, т.е. об амплитудно-частотном спектре.

Теоретически спектральный состав периодического сигнала можно определить в результате разложения его в ряд Фурье:

спектральный электрический сигнал анализатор

где A 0 - постоянная составляющая сигнала, А к - амплитуда к - й гармоники, - начальная фаза к - й гармоники, W -частота первой (основной) гармоники, к - порядковый номер гармоники.

Из выражения (1) следует, что спектр периодического сигнала является дискретным или линейным. В общем случае периодический сигнал содержат не зависящую от времени постоянную составляющую A 0 и бесконечный набор гармонических колебаний называемых гармониками, с частотами кратными основной частоте периодической последовательности.

Постоянную составляющую сигнала определяют как его среднее значение за время, равное периоду Т:

Амплитуды отдельных гармоник определяют по формуле

Зависимость амплитуды А к от частоты представляет собой амплитудно-частотный спектр и графически изображается в виде спектральной диаграммы, приведенной на рис. 1.

Кроме амплитудного спектра теоретически можно определить и фазовый спектр, который представляет собой зависимость начальных фаз от частоты. Начальные фазы отдельных гармоник рассчитываются по формуле

В табл.1 приведены амплитудные спектры некоторых периодических сигналов.

Таблица 1

Исходный сигнал	Амплитудный спектр
Прямоугольный импульсы
Амплитудно-модулированный сигнал
Амплитудно-манипулированный сигнал

Непериодические сигналы в отличие от периодических имеют непрерывный спектр, т.е, в их составе присутствуют все частоты без исключения. Однако амплитуды отдельных спектральных составляющих в таких сигналах бесконечно малы, поэтому их спектральный состав описывают не амплитудами отдельных гармоник, а спектральной плотностью Х() , под которой понимают отношение приращения амплитуды А к приращению частоты на некоторой частоте, т.е.

Теоретически комплексную спектральную плотность непериодического сигнала, x(t) можно определить с помощью интеграла Фурье.

При этом комплексная спектральная плотность (6) несет информацию не только об амплитудах, но и о фазах спектральных составляющих сигнала. Амплитудный спектр сигнала x(t) определяется модулем спектральной плотности (6)

Кроме спектральной плотности амплитуд теоретически можно определить спектральную плотность фаз

Приборы для анализа спектра электрических сигналов, или спектроанализаторы, предназначены для исследования амплитудно-частотного спектра периодических электрических сигналов. По принципу действия эти приборы можно разделить на приборы параллельного, последовательного и последовательно-параллельного анализа.

Структурная схема параллельного спектроанализатора приведена на рис.2. Исследуемый электрический сигнал подводится к ряду параллельно включенных электрических фильтров, каждый из которых выделяет из спектра сигнала только одну гармонику. На выходе фильтров включены индикаторы амплитуды гармоник, на которых можно увидеть значения амплитуд отдельных гармоник.

Точность измерения частот спектральных составляющих определяется полосой пропускания каждого фильтра. Практически полосы пропускания соседних фильтров несколько перекрываются, как показано на рис.3, поэтому при измерении спектра при помощи фильтров можно определять амплитуды сигналов в некоторой полосе частот, совпадающей с полосой пропускания фильтра. Для повышения точности анализа полосу пропускания фильтров делают возможно более узкой, однако при этом резко увеличивается необходимое количество фильтров, что существенно усложняет аппаратуру.

Структурная схема последовательного спектроанализатора приведена на рис.4. Исследуемый электрический сигнал x(t) подводится к смесителю СМ, в котором осуществляется перемножение сигнала x(t) с гармоническим сигналом, поступающим от гетеродина Г. Полосовой фильтр ПФ выделяет из спектра на выходе смесителя сигнал, частота которого равна разности частоты гармоники входного сигнала и частоты гетеродина. Изменяя частоту гетеродина, можно измерить амплитуды всех гармоник сигнала x(t). На выходе полосового фильтра ПФ включен индикатор, в качестве которого наиболее часто используют электроннолучевую трубку (ЭЛТ).

И если исследуемый сигнал x(t) имеет спектральный состав, определяемый выражением

а гармонический сигнал гетеродина равен

то сигнал на выходе смесителя определяется выражением

Составляющая сигнала, для которой выполняется условие

где - частота фильтра, проходит на выход фильтра и индицируется на экране ЭЛТ.

Изменение частоты гетеродина позволяет при постоянной частоте фильтра выделять из спектра сигнала x(t) гармоники с порядковым номером

Для определения частоты каждой составляющей спектра перестройка частоты гетеродина согласована во времени с горизонтальным перемещением луча электронно-лучевой трубки. Для этого используют единый генератор развертки ГР, обеспечивающий перестройку гетеродина синхронно, с перемещением луча по экрану. Структурная схема последовательного спектроанализатора с электроннолучевой трубкой приведена на рис.5.

Таким образом, в последовательном спектроанализаторе последовательно выделяются частотные составляющие спектра исследуемого сигнала при помощи не перестраиваемого полосового фильтра ПФ. Однако при быстром изменении частоты гетеродина напряжение на выходе полосового фильтра не успевает устанавливаться и возникает специфическая погрешность, обусловленная динамическим режимом измерения. Для снижения динамической погрешности перестройка гетеродина проводится очень медленно, что приводит к увеличению времени анализа.

Структурная схема последовательно-параллельного спектроанализатора приведена на рис.6. Исследуемый сигнал x(t) подводится, как и в параллельном спектроанализаторе, к ряду полосовых фильтров. Однако для получения изображения спектра на экране электронно-лучевой трубки (ЭЛТ) выходы фильтров подключаются поочередно при помощи коммутатора К. Таким образом, исключаются нестационарные режимы обусловленные перестройкой гетеродина, и уменьшается время анализа.

Последовательно-параллельный анализатор спектра повышенной точности требует большого количества фильтров, полосы которых не должны практически перекрываться. Ширина полосы пропускания отдельных фильтров определяет погрешность измерения частоты гармонических составляющих.

Основные технические характеристики последовательного спектроанализатора. К основным техническим характеристикам последовательного спектроанализатора относят: диапазон частот F, анализируемого сигнала, полосу обзора F К, полосу пропускания F фильтра, время анализа, погрешности измерения частоты и амплитуды спектральных составляющих.

Диапазон частот P анализируемого сигнала характеризует полосу частот, в которой могут быть определены гармоники. Этот диапазон в приборе разделен на участки F K , которые называют полосами обзора. В пределах полосы обзора F K из спектра исследуемого сигнала выделяют отдельные гармоники с разрешающей способностью, равной полосе пропускания F фильтра.

Для анализа спектра в полосе частот F требуется время

Время анализа в полосе частот F анализируемого сигнала увеличивается соответственно в F/ F раз и равно

В связи с этим последовательный анализ при полосе пропускания практически не используют из-за большого времени анализа. Это обстоятельство ограничивает нижний частотный диапазон последовательных анализаторов значениями 5,....., 10 Гц.

В последовательных анализаторах погрешности измерения частоты и амплитуды спектральных составляющих можно разделить на статические и динамические. Статические погрешности обусловлены неточной установкой частоты гетеродина, неравномерностью амплитудно-частотной характеристики смесителя, погрешностью отсчетных делителей и погрешностью шкалы индикатора.

Динамические погрешности обусловлены перестройкой частоты гетеродина в пределах полосы обзора. При изменении частоты гетеродина изменяется разностная частота на входе полосового фильтра ПФ, и амплитуда напряжения на выходе фильтра не успевает достигнуть установившегося значения. Это приводит к деформации амплитудно-частотной характеристики фильтра, которая характеризуется относительным изменением максимума частотной характеристики фильтра

и относительным смещением частоты максимума

относительно статической характеристики фильтра, где частота динамической характеристики ПФ; - частота статической характеристики ПФ; - значение максимума динамической частотной характеристики ПФ; - значение максимума статической частотной характеристики ПФ.

Полоса пропускания фильтра в динамическом режиме также изменяется, что характеризуется относительным ее расширением

где - полоса пропускания ПФ в динамическом режиме; - полоса пропускания ПФ в статическом режиме.

Анализатор спектра С4-25 предназначен для наблюдения и измерения спектров периодических модулированных и немодулированных сигналов. Основные технические характеристики прибора приведены в табл.2.

Таблица 2

Структурная схема прибора приведена на рис. 7. Исследуемый сигнал x(t) через входной делитель ВД и фильтр нижних частот ФНЧ поступает на смеситель СМ, где преобразуется в частоту 108 МГц. Гетеродин Г1 перестраивается в диапазоне частоты от 108 до 158 МГц. Полоса обзора определяется диапазоном изменения частоты гетеродина и изменяется в пределах от 0 до 50 МГц. Это позволяет просматривать спектр во всем диапазоне частот, при необходимости исследовать его более подробно на любом участке диапазона прибора.

Для снижения помех от преобразователя частоты в приборе использовано двойное преобразование частоты при помощи второго смесителя СМИ и второго гетеродина Г2, работающего на частоте 100 МГц. На выходе второго смесителя образуется сигнал с частотой 8160 кГц, который проходит через полосовой фильтр ПФ с полосой пропускания 300 кГц или кварцевый фильтр КФ с регулируемой полосой пропускания в пределах от 3 до 70 кГц.

После фильтрации сигнал детектируется детектором Д, усиливается усилителем У и поступает на вертикальные отклоняющие пластины электронно-лучевой трубки ЭЛТ. Генератор развертки ГР обеспечивает изменение частоты гетеродина Г1 и синхронную с ним развертку луча ЭЛТ.

Измерение частоты и частотных интервалов проводится с помощью меток, в качестве которых используются спектральные составляющие калибратора К. Фиксированные интервалы между метеками 0,1, I и 10 МГц определяются по шкале с помощью переключателя меток. Основные органы управления анализатора спектра и их назначение приведено в табл.3.

Таблица 3.

Орган управления	Назначение
Центральная частота	Перестройка частоты настройки прибора в пределах от 20 кГц до 50 МГц
	Грубое и плавное изменение полосы обзора в пределах от 0 до 50 МГц
Полоса пропускания	Изменение полосы пропускания: фиксирования полоса 300 кГц или плавно регулируемая полоса - 3-70 кГц
Развертка	Изменение скорости развертки. В положение ВЫКЛ развертка выключается
Верт. Масштаб	Изменение масштаба индикатора по вертикальной оси
детектора	Изменение постоянной времени детектора. При увеличение постоянной времени уменьшается уровень шумов без изменения среднего уровня
Чувствительность	Изменение ослабления входного делителя
Отсчет амплитуд	Относительное изменение уровня составляющий спектр

Для упрощения методов решения задач анализа цепей, сигналы представляют в виде суммы определенных функций.

Этот процесс обосновывается понятием обобщенного ряда Фурье. В математике доказано, что любая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть представлена в виде ряда:

Для определения умножим левую и правую части ряда на и возьмем интеграл от левой и правой части:

для интервала в котором выполняются условия ортогональности.

Видно, что.Получили выражение для обобщенного ряда Фурье:

Выделим конкретный вид функции, для разложения в ряд сигнала. В качестве такой функции выберем ортогональную систему функций:

Для определения ряда вычислим значение:

Таким образом, получим:

Графически данный ряд представляется в виде двух графиков амплитудных гармонических составляющих.

Полученное выражение можно представить в виде:

Получили вторую форму записи тригонометрического ряда Фурье. Графически данный ряд представляется в виде двух графиков - амплитудного и фазового спектров.

Найдем комплексную форму ряда Фурье, для этого воспользуемся формулами Эйлера:

Графически спектр в этой форме представлен на оси частот в диапазоне.

Очевидно, что спектр периодического сигнала, выраженный в комплексной или амплитудной форме - дискретный. Это значит, что в спектре имеются составляющие с частотами

Спектральные характеристики непериодического сигнала

Так как в качестве непериодического сигнала в радиотехнике рассматривают одиночный сигнал, то для нахождения его спектра представим сигнал как периодический с периодом. Воспользуемся преобразование ряда Фурье для данного периода. Получим для:

Анализ полученного выражения показывает, что при амплитуды составляющих становятся бесконечно малыми и на оси частот они расположены непрерывно. Тогда, что б выйти из этого положения воспользуемся понятием спектральной плотности:

Подставим полученное выражение в комплексный ряд Фурье, получим:

Окончательно получим:

Здесь - спектральная плотность, а само выражение - прямое преобразование Фурье. Для определения сигнала по его спектру используют обратное преобразование Фурье:

Свойства преобразования Фурье

Из формул прямого и обратного преобразований Фурье, очевидно, что если изменится сигнал, то изменится и его спектр. Следующие свойства устанавливают зависимость спектра измененного сигнала, от спектра сигнала до изменений.

1) Свойство линейности преобразования Фурье

Получили, что спектр суммы сигналов равен сумме их спектров.

2) Спектр сигнала сдвинутого во времени

Получили, что при сдвиге сигнала амплитудный спектр не изменяется, а изменяется только фазовый спектр на величину

3) Изменение масштаба времени

т.е при расширении(сужении) сигнала в несколько раз спектр этого сигнала сужается(расширяется).

4) Спектр смещения

5) Спектр производной от сигнала

Возьмем производную от левой и правой части обратного преобразования Фурье.

Видим, что спектр производной от сигнала равен спектру исходного сигнала умноженного на, то есть изменяется амплитудный спектр и меняется фазовый на.

6) Спектр интеграла сигнала

Возьмем интеграл от левой и правой части обратного преобразования Фурье.

Видим, что спектр производной от сигнала равен спектру исходного сигнала деленного на,

7) Спектр произведения двух сигналов

Таким образом, спектр произведения двух сигналов равен свертке их спектров умноженной на коэффициент

8) Свойство дуальности

Таким образом, если к какому-то сигналу соответствует спектр, то сигналу по форме совпадающему с вышеуказанным спектром соответствует спектр по форме совпадающий с вышеуказанным сигналом.

Общие замечания

Среди разнообразных систем ортогональных функций, которые могут использоваться в качестве базисов для представления радиотехнических сигналов, исключительное место занимают гармонические (синусоидальные и косинусоидальные) функции. Значение гармонических сигналов для радиотехники обусловлено рядом причин.

В радиотехнике приходится иметь дело с электрическими сигналами, которые связаны с передаваемыми сообщениями принятым способом кодирования.

Можно сказать, что электрический сигнал представляет собой физический (электрический) процесс, несущий в себе информацию. Количество информации, которое можно передать с помощью некоторого сигнала, зависит от основных его параметров: длительности, полосы частот, мощности и некоторых других характеристик. Важное значение имеет также уровень помех в канале связи: чем меньше этот уровень, тем большее количество информации можно передать с помощью сигнала с заданной мощностью. Прежде чем говорить об информационных возможностях сигнала, необходимо ознакомиться с его основными характеристиками. Целесообразно рассмотреть отдельно детерминированные и случайные сигналы.

Детерминированным называют любой сигнал, мгновенное значение которого в любой момент времени можно предсказать с вероятностью единица.

Примерами детерминированных сигналов могут служить импульсы или пачки импульсов, форма, величина и положение во времени которых известны, а также непрерывный сигнал с заданными амплитудными и фазовыми соотношениями внутри его спектра. Детерминированные сигналы можно подразделить на периодические и непериодические.

Периодическим называется любой сигнал, для которого выполняется условие

где период Т является конечным отрезком, а k - любое целое число.

Простейшим периодическим детерминированным сигналом является гармоническое колебание. Строго гармоническое колебание называют монохроматическим. Этот заимствованный из оптики термин подчёркивает, что спектр гармонического колебания состоит из одной спектральной линии. У реальных сигналов, имеющих начало и конец, спектр неизбежно размывается. Поэтому строго монохроматического колебания в природе не существует. В дальнейшем под гармоническим и монохроматическим сигналом условно будет подразумеваться колебание. Любой сложный периодический сигнал, как известно, можно представить в виде суммы гармонических колебаний с частотами, кратными основной частоте w = 2*Pi/T. Основной характеристикой сложного периодического сигнала является его спектральная функция, содержащая информацию об амплитудах и фазах отдельных гармоник.

Непериодическим детерминированным сигналом называется любой детерминированный сигнал, для которого выполняется условие s(t)s(t+kT).

Как правило, непериодический сигнал ограничен во времени. Примерами таких сигналов могут служить уже упоминавшиеся импульсы, пачки импульсов, «обрывки» гармонических колебаний и т.д. Непериодические сигналы представляют основной интерес, так как именно они преимущественно используются в практике.

Основной характеристикой непериодического, как и периодического сигнала, является его спектральная функция;

К случайным сигналам относят сигналы, значения которых заранее неизвестны и могут быть предсказаны лишь с некоторой вероятностью, меньшей единицы. Такими функциями являются, например, электрическое напряжение, соответствующее речи, музыке, последовательности знаков телеграфного кода при передаче неповторяющегося текста. К случайным сигналам относится также последовательность радиоимпульсов на входе радиолокационного приёмника, когда амплитуды импульсов и фазы их высокочастотного заполнения флуктуируют из-за изменения условий распространения, положения цели и некоторых других причин. Можно привести большое число других примеров случайных сигналов. По существу, любой сигнал, несущий в себе информацию, должен рассматриваться как случайный. Перечисленные детерминированные сигналы, «полностью известные», информации уже не содержат. В дальнейшем такие сигналы часто будут обозначаться термином «колебание».

Для характеристики и анализа случайных сигналов применяется статистический подход. В качестве основных характеристик случайных сигналов принимают:

а) закон распределения вероятностей.

б) спектральное распределение мощности сигнала.

На основе первой характеристики можно найти относительное время пребывания величины сигнала в определённом интервале уровней, отношение максимальных значений к среднеквадратическому и ряд других важных параметров сигнала. Вторая характеристика даёт лишь распределение по частотам средней мощности сигнала. Более подробной информации относительно отдельных составляющих спектра - об их амплитудах и фазах - спектральная характеристика случайного процесса не даёт.

Наряду с полезными случайными сигналами в теории и практике приходится иметь дело со случайными помехами - шумами. Как уже упоминалось выше, уровень шумов является основным фактором, ограничивающим скорость передачи информации при заданном сигнале.