Расчет сложной цепи очень часто упрощается, если в схеме ее замещения провести соответствующие эквивалентные преобразования, приводящие к существенному упрощению конфигурации этой схемы. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся, простые соединения элементов цепей: последовательное, параллельное и смешанное.
Последовательное соединение элементов
Если имеется группа последовательно соединенных элементов R 1 , R 2 ,…R n (Рис. 2.3, а ), то ее всегда можно представить в видеодного элемента (Рис. 2.3, б ), у которого
R Э = R 1 + R 2 + …+ R n .. (2.20)
Условием эквивалентности замены, здесь и в дальнейшем, является то, что такая замена не влияет на ток и напряжение на внешних зажимах данного участка схемы.
Параллельное соединение элементов
Если имеется группа параллельно соединенных элементов R 1 , R 2 ,…R n (Рис. 2.4, а ), то ее всегда можно представить в виде одного элемента (Рис. 2.4, б ), у которого
,
где 
(2.21)
Для двух параллельно соединенных элементов выражение (2.21) примет вид:
Смешанное соединение элементов
Если в схеме цепи имеется группа элементов, в которой элементы соединены последовательно и параллельно (Рис. 2.5), то ее также можно привести к одному элементу, используя поэтапно преобразования (2.20) и (2.21).
Метод наложения
Данный метод (Рис 2.6) основан на свойствах линейных цепей, которые подчиняются принципу суперпозиции (наложения решений). Это связано с тем, что для линейной цепи параметры ее элементов не зависят от действующих в них токов и напряжений. Если в линейной цепи действуют несколько ЭДС, то ток в любой ветви данной цепи может быть получен как алгебраическая сумма токов, вызываемых в этой ветви каждой из ЭДС в отдельности.
При определении частичных слагающих токов и следует считать включенными внутренние сопротивления тех источников, ЭДС которых исключаются. Если в схеме остается один источник (Рис 2.6, б, с ), к ней применимы преобразования, изложенные выше. Искомый ток в результате определяется как сумма частных токов, то есть .
Метод эквивалентных преобразований заключается в том, что электрическую цепь или ее часть заменяют более простой по структуре электрической цепью. При этом токи и напряжения в непреобразованной части цепи должны оставаться неизменными. В любое последовательное соединение может входить произвольное число сопротивлений (резисторов) и источников ЭДС, а также не более одного источника тока.
Н
аличие
более одного источника тока в соединении
исключается вследствие логического
противоречия, т.к. в последовательном
соединении через все элементы протекает
одинаковый ток и этот ток равен току
источника. Если же источников тока
несколько, то они должны формировать
несколько различных токов, что невозможно
по характеру их соединения. Присутствие
источника в соединении означает лишь
то, что ток в этом соединении задан,
поэтому без ущерба для общности выводов
источник тока можно вынести за пределы
соединения и не рассматривать. Тогда в
общем случае в соединение будут входитьm
сопротивлений и n
источников ЭДС (рис а). Не изменяя режима
работы соединения, их можно переместить
так, чтобы образовались две группы
элементов: сопротивления и источники
ЭДС (рис. б). Для этой цепи можно написать
уравнение Кирхгофа в виде:
U=IR1+IR2+…+IRm+E1+…-En-1+En=I(R1+R2+…Rm)+E1…-En-1+En=IR+E
Таким образом, любое последовательное соединение элементов можно представить последовательным соединением одного сопротивленияR и одного источника ЭДС E Причем, общее сопротивление соединения равно сумме всех сопротивлений
а общая ЭДС – алгебраической сумме
6.Метод узловых потенциалов
Ток в любой ветви схемы можно найти по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС. Для того чтобы можно было применить закон Ома, необходимо знать потенциалы узлов схемы. Метод расчеты электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов. Допустим, что в схеме n узлов. Так как любая (одна) точка схемы может быть заземлена без изменения токораспределения в ней, один из узлов схемы можно мысленно зазамлить, т. е.принять потенциал его равным нулю. При этом число неизвестных уменьшается с n до n-1. Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые необходимо составить для схемы по первому закону Кирхгофа. В том случае, когда число узлов без единицы меньше числа независимых контуров в схеме, данный метод является более экономным, чем метод контурных токов. Первый закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма сил токов для каждого узла в разветвленной цепи равна нулю I1+I2+I3+…+In=0
7.Метод двух узлов
Часто встречаются схемы, содержащие всего два узла. Наиболее рациональным методом расчета токов в них является метод двух узлов. Под методом двух узлов понимают метод расчета электрических цепей, в котором за искомое (с его помощью определяют затем токи ветвей) принимают напряжение между двумя узлами схемы. Схема имеет два узла. Потенциал точки 2 примем равным нулю φ2 = 0. Составим узловое уравнение для узла 1.
φ1(g1+g2+g3)- φ2(g1+g2+g3)=E1g1-E3g3
U12= φ1- φ2= φ1= (E1g1-E3g3)/g1+g2+g3, где
g1=1/R1, g2=1/R2, g3=1/R3 – проводимости ветвей
В общем виде
В знаменателе формулы - сумма проводимостей параллельно включенных ветвей. В числителе - алгебраическая сумма произведений ЭДС источников на проводимости ветвей, в которые эти ЭДС включены. ЭДС в формуле записывается со знаком "плюс", если она направлена к узлу 1, и со знаком "минус", если направлена от узла 1.После вычисления величины потенциала φ1 находим токи в ветвях, используя закон Ома для активной и пассивной ветви.
8 .Метод контурных токов
При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схмы течет свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего через них определяют токи ветвей. Т. о., метод контурных токов можно определить как метод расчета, в котором за искомые принимают контурные токи. Число неизвестных в этом методе равно числу уравнений, которые необходимо было составить для схемы по второму закону Кирхгофа: алгебраическая сумма произведений сопротивления каждого из участков любого замкнутого контура разветвленной цепи постоянного тока на силу тока на этом участке равна алгебраической сумме ЭДС вдоль этого контура.I1R1+I2R2=E1+E2
Токи в сопротивлениях R1 и R2 равны соответствующим контурным токам. Ток в сопротивлении R3, являющийся общим для обоих контуров, равен разности контурных токов I11 и I22, так как эти токи направлены в ветви с R3 встречно. Выбираются независимые контуры, и задаются произвольные направления контурных токов.В нашем случае эти токи направлены по часовой стрелке. Направление обхода контура совпадает с направлением контурных токов. Уравнения для этих контуров имеют следующий вид: I11(R1+Ri1)+I11R3-I22R3=E1,
I22(Ri2-R2)+I22R3-I11R3=-E2 Перегруппируем слагаемые в уравнениях I11(R1+Ri1+R3)-I22R3=E1=E11, -I11R3+I22(Ri2+R2+R3)=-E2=E22 Суммарное сопротивление данного контура называется собственным сопротивлением контура. Cобственные сопротивления контуров схемы R11=R1+Ri1+R3, R22=Ri2+R2+R3 Сопротивление R3, принадлежащее одновременно двум контурам, называется общим сопротивлением этих контуров. R12=R21=R3 где R12 - общее сопротивление между первым и вторым контурами;R21 - общее сопротивление между вторым и первым контурами.E11 = E1 и E22 = E2 - контурные ЭДС.В общем виде уравнения (4.4) и (4.5) записываются следующим образом I11R11+I22R12=E11, I11R21+I22R22=E22 Собственные сопротивления всегда имеют знак "плюс".
Общее сопротивление имеет знак "минус", если в данном сопротивлении контурные токи направлены встречно друг другу, и знак "плюс", если контурные токи в общем сопротивлении совпадают по направлению. Решая уравнения совместно, находим контурные токи I11 и I22 , затем от контурных токов переходим к токам в ветвях. I1=I11, I2=I22,I3=I11-I22.
9.Метод наложения. Данный метод справедлив только для линейных электрических цепей и является особенно эффективным, когда требуется вычислить токи для различных значений ЭДС и токов источников в то время, как сопротивления схемы остаются неизменными. Данный метод основан на принципе наложения (суперпозиции), который формулируется следующим образом: ток в k – й ветви линейной электрической цепи равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждым из источников в отдельности.Аналитически принцип наложения для цепи, содержащей n источников ЭДС и m источников тока, выражается
соотношением:Здесь- комплекс входной проводимости k – й ветви, численно равный отношению тока к ЭДС в этой ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях;- комплекс взаимной проводимости k – й и i– й ветвей, численно равный отношению тока в k – й ветви и ЭДС в i– й ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях.Входные и взаимные проводимости можно определить экспериментально или аналитически, используя их указанную смысловую трактовку, при этом, что непосредственно вытекает из свойства взаимности. Аналогично определяются коэффициенты передачи тока, которые в отличие от проводимостей являются величинами безразмерными.
Доказательство принципа наложения можно осуществить на основе метода контурных токов.
Если решить систему уравнений, составленных по методу контурных токов, относительно любого контурного тока, например, то получим(2),где
-
определитель системы уравнений,
составленный по методу контурных токов;- алгебраическое дополнение определителя.Каждая из ЭДС в (2)
представляет собой алгебраическую
сумму ЭДС в ветвях i–го контура. Если
теперь все контурные ЭДС в (2) заменить
алгебраическими суммами ЭДС в
соответствующих ветвях, то после
группировки слагаемых получится
выражение для контурного тока в виде
алгебраической суммы составляющих
токов, вызванных каждой из ЭДС ветвей
в отдельности. Поскольку систему
независимых контуров всегда можно
выбрать так, что рассматриваемая h-я
ветвь войдет только в один-й контур, т.е. контурный токбудет равен действительному токуh-й ветви, то принцип наложения справедлив
для токовлюбых ветвей и, следовательно,
справедливость принципа наложения
доказана.Таким образом, при определении
токов ветвей при помощи метода наложения
следует поочередно оставлять в схеме
по одному источнику, заменяя остальные
их внутренними сопротивлениями, и
рассчитать составляющие искомых токов
в этих схемах. После этого полученные
результаты для соответствующих ветвей
суммируются – это и будут искомые токи
в ветвях исходной цепи.
Преобразования называются эквивалентными, если при замене одного участка цепи другим, более простым, токи и напряжения участка цепи, который не был преобразован, не изменяются.
При расчете электрических схем часто возникает целесообразность преобразования схем этих цепей в более простые и удобные для расчета.
Одним из основных видов преобразования электрических схем, применяемых на практике, является преобразование схемы со смешанным соединением элементов. Смешанное соединение элементов представляет собой сочетание более простых соединений – последовательного и параллельного.
Последовательное соединение
Последовательное соединение элементов цепи – соединение нескольких элементов, через которые проходит один и тот же ток.
Рисунок 3.1 Схемы последовательного соединения резисторов и индуктивностей
В соответствии с принципом эквивалентного преобразования и законом Ома имеем:
Параллельное соединение элементов
Параллельное соединение элементов – соединение нескольких элементов, при котором все эти элементы находятся под одним и тем же напряжением.
Рисунок 3. 2 Схема параллельного соединения сопротивлений
Рассмотрим параллельное соединение двух сопротивлений. В соответствии с для участка цепи с , (на вышеприведенном рисунке), 
. Поскольку
.
Найдем ток в каждой из параллельных ветвей , если известен общий ток и значения сопротивлений . По закону Ома ; . Тогда:
.
Полученное выражение является формулой распределения токов: ток в одной из параллельных ветвей равен общему току, умноженному на сопротивление противоположной ветви и поделенному на сумму сопротивлений обеих ветвей.
Рисунок 3.3 Схема параллельно-последовательного соединения сопротивлений
Эквивалентное преобразование треугольника сопротивлений в звезду и обратно.
Если известны сопротивления , которые образуют между узлами треугольник сопротивлений, то для расчета сопротивлений , которые соединены в эквивалентную звезду между теми же самыми узлами, используют формулы:
; 
; 
. (3.5)
Рисунок 3.4 Схемы соединения сопротивлений треугольником (а) и звездой (б)
Обратное преобразование осуществляется при помощи формул:
; 
; 
(3.6)
Эквивалентные преобразования схем с источниками.
Закон Ома для участка цепи с источником.
Рассмотрим понятие одноконтурной и двухузловой схем.
Эти схемы характерны тем, что имеют один контур (рисунок 3.5) и один независимый контур (рисунок 3.6) соответственно.
Рисунок 3.5 Одноконтурная схема Рисунок 3.6 Двухузловая схема
Найдем ток в первой схеме. Обозначим напряжение между точками и : . Тогда для двух условных контуров получим два уравнения:
;
Из первого уравнения получаем закон Ома для участка цепи с источником напряжения:
Реальные источники электрической энергии и их эквивалентные схемы.
Реальный источник напряжения – активный элемент, который можно представить в виде идеального источника напряжения и последовательно соединенного с ним пассивного элемента , (внутреннего сопротивления), которое учитывает потери энергии в источнике (рисунок 3.7).
Рисунок 3.7 Схема реального источника напряжения
По закону Кирхгофа можно записать 
, откуда получаем выражение для вольт - амперной характеристики реального источника напряжения: 
.
Штриховой линией показана ВАХ идеального источника напряжения: .
Рисунок 3.8 Вольт-амперная характеристика реального источника напряжения
Выясним, при каких условиях реальный источник приближается к идеальному. Найдем напряжение на зажимах реального источника, к которому подключается сопротивление нагрузки (рисунок 3.7)
(3.7)
Из уравнения 3.7 видно, что источник напряжения можно рассматривать как идеальный , если выполняется условие .
Реальный источник тока – активный двухполюсник, который состоит из идеального источника тока и параллельного включенного с ним пассивного элемента , который учитывает потери (рисунок 3.9).
Рисунок 3.9 Схема реального источника тока
В соответствии с первым законом Кирхгофа можно записать:
Это выражение описывает ВАХ реального источника тока (рисунок 3.10). Штриховой линией показана ВАХ идеального источника тока:
Рисунок 3.10 Вольт-амперная характеристика реального источника тока
Найдем ток в сопротивлении нагрузки, которая подключена к реальному источнику тока (рисунок). По формуле разложения токов
. (3.8)
Исходя из формулы (3.8), реальный источник тока приближается к идеальному при условии R i >> R H .
Некоторые схемы реальных источников напряжения (рисунок 3.7) и тока (рисунок 3.9) эквивалентны. Выясним, при каких условиях? В соответствии с принципом эквивалентных преобразований, напряжение во внешней цепи (т.е. на опорной нагрузке) не может измениться при переходе от схемы (рисунок 3.7) к схеме (рисунок 3.9): U = U`.
Для первой схемы:
,
Для второй:
,
если U=U`, то
. (3.9)
Итак, схемы реальных источников напряжения и тока эквивалентны, если выполняются условия (3.9).
После изучения подразделов 3.1 и 3.2 дайте письменные ответы на контрольные вопросы, приведенные ниже.
Анализ любой электрической цепи начинается с построения ее модели, которая описывается схемой замещения.
В электрических схемах различают следующие простейшие соединения пассивных элементов: последовательное, параллельное, соединение в виде треугольника и в виде трехлучевой звезды. Прежде чем начинать анализ схемы, желательно проводить предварительные эквивалентные преобразования схемы. Суть таких преобразований состоит в замене некоторой части схемы другой, эквивалентной ей в электрическом отношении, но с более удобной для расчета структурой. Чаще других используют два вида таких преобразований: замену последовательно и параллельно соединенных элементов одним эквивалентным; преобразование трехлучевой звезды в треугольник и обратно.
Эквивалентное сопротивление последовательно соединенных элементов равно арифметической сумме их сопротивлений:
. (1.26)
Эквивалентная проводимость параллельно соединенных резистивных элементов равна арифметической сумме их проводимостей:
. (1.27)
При преобразовании треугольника (рис.1.14) в звезду (рис.1.15) при заданных сопротивлениях сторон треугольника RАБ, RБВ, RBA определяются эквивалентные сопротивления лучей звезды RA, RБ, RB.
Рис. 1.14. Схема цепи – треугольник
Рис. 1.15. Схема цепи – звезда
Эквивалентные сопротивления лучей звезды равны:
При преобразовании звезды в эквивалентный треугольник при заданных RA, RБ, RB эквивалентные сопротивления определяются следующим образом.
Этот метод применим либо к отдельным участкам сложной электрической цепи, либо к электрической цепи, в которой действует один источник. Проведя по определенным правилам эквивалентные преобразования, можно свести электрическую цепь к виду:
Зависит от способа соединения пассивных элементов.
Самостоятельно!!! Рассмотреть: последовательное, параллельное, смешанное соединение и соединения «треугольником» и «звездой».
План каждого соединения:
– схема соединения;
– основные свойства этого соединения;
– формулы эквивалентных преобразований;
– пример.
1. Волынский В.А. и др. «Электротехника», 1987 г. (С. 37-41);
2. Электротехника под ред. В. Г. Герасимова. С. 22-27.;
3. Касаткин «Электротехника».
В зависимости от назначения электрической цепи ее элементы (источники, приемники, вспомогательные элементы) могут соединяться различным образом. Существует четыре основных вида соединений элементов: последовательное, параллельное, «треугольником», «звездой» и смешанное.
1. Последовательным называется соединение, при котором ток в каждом элементе один и тот же. При последовательном соединении n пассивных элементов цепи. Схема замещения с n резистивными элементами может быть заменена эквивалентной схемой с одни резистивным элементом.
Например:
2. Параллельным называется соединение, при котором все участки цепи присоединяются к одной паре узлов, то есть находятся под воздействием одного и того же напряжения.
Рис. Схема замещения цепи с параллельным соединением пассивных элементов и ее эквивалентная схема
Ток в каждой ветви определяется напряжением и сопротивлением:
.
Условия эквивалентности будут соблюдены, если ток эквивалентной схемы будет равен току в неразветвленной части цепи, то есть .
В результате получаем:
,
из которой получают формулу для эквивалентного сопротивления:
или для эквивалентной проводимости:
Эквивалентное сопротивление параллельно соединенных элементов обратно пропорционально ее эквивалентной проводимости:
поэтому оно всегда меньше наименьшего из сопротивления цепи.
Если параллельно соединены n ветвей с одинаковыми сопротивлениями R , то их эквивалентное сопротивление будет в n раз меньше сопротивления каждой ветви, то есть .
Параллельное соединение обеспечивает одинаковое напряжение на всех включенных приемниках.
3. Смешанное соединение резистивных элементов. При наличии в цепи одного источника внешнюю по отношению к нему часть схемы можно в большинстве случаев рассматривать как смешанное (последовательно-параллельное) соединение резистивных элементов.
Для расчета такой цепи удобно преобразовать ее схему замещения в эквивалентную схему с последовательным соединением резистивных элементов.
Между узлами a и b включены 3 резистивных элемента с сопротивлениями , и .
После замены параллельного соединения резистивных элементов эквивалентным резистивным элементом с сопротивлением
получается эквивалентная схема с последовательным соединением двух резистивным элементов и .
Ток в неразветвленной части: 
.
Токи в параллельных ветвях:
4. В некоторых сложных электрических цепях встречаются соединения элементов, которые нельзя отнести к вышеперечисленным. Типичным примером подобной сложной цепи является мостовая цепь.
Рис. Схема замещения мостовой цепи и ее эквивалентная схема
В этом случае часть цепи образует «треугольник», вершинами которого являются три узла (a , b , c ), а сторонами – три ветви с сопротивлениями , , , включенных между этими узлами. Расчет такой цепи удобно проводить, используя эквивалентную замену трех ветвей, соединенных «треугольником», тремя ветвями, соединенными трехлучевой «звездой». При замене соединения «треугольником» ветвей с сопротивлениями , , ветвями с сопротивлениями , , , соединенных «звездой», мостовая цепь преобразовывается в цепь с последовательным и параллельным соединением элементов.
Для определения сопротивления , , ветвей, соединенных «звездой», необходимо найти соотношения, связывающих их с сопротивлениями ветвей, соединенных «треугольником». С этой целью воспользуемся общим условием эквивалентности, по которым напряжения и токи в ветвях, не подвергнутых преобразованию, должны оставаться без изменения в любых режимах, в точности при размыкании ветвей, присоединенных к узлам a , b , c .
При отсоединении ветви с сопротивлением от узла a токи , а также напряжение равны соответствующим токам и и напряжению в схеме (б), то есть сопротивления между точками b и c для обеих схем (а) и (б) одинаковы.