Элементарн ыми преобразованиями строк матрицы называется преобразования следующих типов:
1) Умножение каждого элемента некоторой строки на одно и то же ненулевое число. Остальные строки остаются без изменения (кратко: умножение строки на число).
2) Прибавление к каждому элементу некоторой строки соответствующих элементов другой строки, умноженные на одно и то же число. Остальные строки (в том числе и прибавляемое) остаются без изменения (кратко: прибавление к строке другой, умноженной на число).
3) Перемена местами некоторых двух строк матрицы. Остальные строки остаются без изменения.
Эти преобразования называются соответственно преобразованиями первого , второго и третьеготипа (рода ). Последовательно применяя их, мы получаем более сложные преобразования.
Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов матрицы.
Теорема
Преобразование третьего типа является некоторой комбинацией преобразований первого и второго типов .
Таким образом, преобразованием третьего типа можно отнести к более сложным, чем элементарные. Но его принято всё-же считать элементарным ради удобства.
Теорема
Любую матрицу элементарными преобразованиями строк можно привести к ступенчатой . Если к матрице применить элементарные преобразования строк и столбцов , то её можно привести к трапециедальному виду .
Например ,
á(1) Поменяли местами первую и вторую строки (преобразование третьего типа).
(2) Первую строку, умноженную на 2, прибавили ко второй и вычли из третьей, умноженную на 3, прибавили к четвёртой (преобразования второго типа).
(3) Вторую строку вычли из третьей и вторую строку, умноженную на 14/11 вычли из четвёртой.
(4) Поменяли местами третью и четвёртую строки.ñ
Таким образом, преобразовали исходную матрицу
в ступенчатую
Теперь, поменяв местами второй и третий столбец, а затем поменяв его же с четвёртым столбцом, перемещаем второй столбец на место четвёртого, третий и четвёртый столбцы окажутся соответственно на месте второго и третьего столбцов:
тем самым преобразовали исходную матрицу в трапециедальную.
Упражнения
Привести матрицу к ступенчатому и трапециедальному видам:
Матричная алгебра - Элементарные преобразования матрицЭлементарные преобразования матриц
Элементарные преобразования матрицы находят широкое применение в различных математических задачах. Например, они составляют основу известного метода Гаусса (метода исключения неизвестных) для решения системы линейных уравнений .
К элементарным преобразованиям относятся:
1) перестановка двух строк (столбцов);
2) умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на некоторое число, не равное нулю;
3) сложение двух строк (столбцов) матрицы, умноженных на одно и то же число, отличное от нуля.
Две матрицы называются эквивалентными , если одна из них может быть получена из другой после конечного числа элементарных преобразований. В общем случае эквивалентные матрицы равными не являются, но имеют один и тот же ранг.
Вычисление определителей с помощью элементарных преобразований
С помощью элементарных преобразований легко вычислить определитель матрицы. Например, требуется вычислить определитель матрицы:
где ≠ 0.
Тогда можно вынести множитель :
теперь, вычитая из элементов j - го столбцасоответствующие элементы первого столбца, умноженные на, получим определитель:
который равен: где
Затем повторяем те же действия для и, если все элементы то тогда окончательно получим:
Если для какого-нибудь промежуточного определителя окажется, что его левый верхний элемент , то необходимо переставить строки или столбцы втак, чтобы новый левый верхний элемент был не равен нулю. Если Δ ≠ 0, то это всегда можно сделать. При этом следует учитывать, что знак определителя меняется в зависимости от того, какой элемент является главным (то есть, когда матрица преобразована так, что). Тогда знак соответствующего определителя равен.
П р и м е р. С помощью элементарных преобразований привести матрицу
К элементарным преобразованиям матрицы относятся:
1. Изменение порядка строк (столбцов).
2. Отбрасывание нулевых строк (столбцов).
3. Умножение элементов любой строки (столбца) на одно число.
4. Прибавление к элементам любой строки (столбца) элементов другой строки (столбца), умноженных на одно число.
Системы линейных алгебраических уравнений слу (Основные понятия и определения).
1. Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система уравнений вида:
2. Решением системы уравнений (1) называется совокупность чисел x 1 , x 2 , … , x n , обращающая каждое уравнение системы в тождество.
3. Система уравнений (1) называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, она называется несовместной .
4. Система уравнений (1) называется определенной , если она имеет только одно решение, и неопределенной , если у нее более одного решения.
5. В результате элементарных преобразований система (1) преобразуется к равносильной ей системе (т.е. имеющей то же множество решений).
К элементарным преобразованиям систем линейных уравнений относятся:
1. Отбрасывание нулевых строк.
2. Изменение порядка строк.
3. Прибавление к элементам любой строки элементов другой строки, умноженных на одно число.
Методы решения систем линейных уравнений.
1) Метод обратной матрицы (матричный метод) решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.
Системой n линейных уравнений с n неизвестными называется система уравнений вида:
Запишем систему (2) в матричном виде, для этого введем обозначения.
Матрица коэффициентов перед переменными:
X = ‒ матрица переменных.
В = ‒ матрица свободных членов.
Тогда система (2) примет вид:
A ×X = B ‒ матричное уравнение.
Решив уравнение, получим:
X = A -1 ×B
Пример:
; ;
1) │А│= 15 + 8 ‒18 ‒9 ‒12 + 20 = 4 0 матрицаА -1 существует.
3)
à =
4) А -1 = × Ã =;
Х = А -1 × B
Ответ:
2) Правило Крамера решения систем n – линейных уравнений с n – неизвестными.
Рассмотрим систему 2 ‒ х линейных уравнений с 2 ‒ мя неизвестными:
Решим эту систему методом подстановки:
Из первого уравнения следует:
Подставив во второе уравнение, получим:
Подставляем значение в формулу для, получим:
Определитель Δ - определитель матрицы системы;
Δ x 1 - определитель переменной x 1 ;
Δ x 2 - определитель переменной x 2 ;
Формулы:
x 1 =;x 2 =;…,x n = ;Δ 0;
‒ называются формулами Крамера.
При нахождении определителей неизвестных х 1 , х 2 ,…, х n заменяется столбец коэффициентов при той переменной, определитель которой находят, на столбец свободных членов.
Пример: Решить систему уравнений методом Крамера
Решение:
Составим и вычислим сначала главный определитель этой системы:
Так как Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера:
где Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 получаются из определителя Δ путем замены 1‒ го, 2 ‒ го или 3 ‒ го столбца, соответственно, на столбец свободных членов.
Таким образом:
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
Рассмотрим систему:
Расширенной матрицей системы (1) называется матрица вида:
Метод Гаусса – это метод последовательного исключения неизвестных из уравнений системы, начиная со второго уравнения по m – тое уравнение.
При этом путем элементарных преобразований матрица системы приводится к треугольной (если m = n и определитель системы ≠ 0) или ступенчатой (если m < n ) форме.
Затем, начиная с последнего по номеру уравнения, находятся все неизвестные.
Алгоритм метода Гаусса:
1) Составить расширенную матрицу системы, включающую столбец свободных членов.
2) Если а 11 0, то первую строку делим на а 11 и умножаем на (– a 21) и прибавляем вторую строку. Аналогично дойти до m –той строки:
I стр. делим на а 11 и умножаем на (– а m 1) и прибавляем m – тую стр.
При этом из уравнений, начиная со второго по m – тое, исключится переменная x 1 .
3) На 3 ‒ м шаге вторая строка используется для аналогичных элементарных преобразований строк с 3 ‒ й по m – тую. При этом исключится переменная x 2 , начиная с 3 ‒ й строки по m – тую, и т. д.
В результате этих преобразований система приведется к треугольной или ступенчатой форме (в случае треугольной формы под главной диагональю нули).
Приведение системы к треугольной или ступенчатой форме называется прямым ходом метода Гаусса , а нахождение неизвестных из полученной системы называется обратным ходом .
Пример:
Прямой ход. Приведём расширенную матрицу системы
с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду. Переставим первую и вторую строки матрицыA b , получим матрицу:
Сложим вторую строку полученной матрицы с первой, умноженной на (‒2), а её третью строку – с первой строкой, умноженной на (‒7). Получим матрицу
К третьей строке полученной матрицы прибавим вторую строку, умноженную на (‒3), в результате чего получим ступенчатую матрицу
Таким образом, мы привели данную систему уравнений к ступенчатому виду:
,
Обратный ход. Начиная с последнего уравнения полученной ступенчатой системы уравнений, последовательно найдём значения неизвестных:
Введем понятие элементарной матрицы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная матрица, получающаяся из единичной матрицы в результате неособенного элементарного преобразования над строками (столбцами), называется элементарной матрицей, соответствующей этому преобразованию.
Так, например, элементарными матрицами второго порядка являются матрицы
где А - любой ненулевой скаляр.
Элементарная матрица получается из единичной матрицы Е в результате одного из следующих неособенных преобразований:
1) умножение строки (столбца) матрицы Е на отличный от нуля скаляр;
2) прибавление (или вычитание) к какой-либо строке (столбцу) матрицы Е другой строки (столбца), умноженной на скаляр.
Обозначим через матрицу, получающуюся из матрицы Е в результате умножения строки на ненулевой скаляр А:
Обозначим через матрицу, получающуюся из матрицы Е в результате прибавления (вычитания) к строке строки, умноженной на А;
Через будем обозначать матрицу, получающуюся из единичной матрицы Е в результате применения элементарного преобразования над строками; таким образом, есть матрица, соответствующая преобразованию
Рассмотрим некоторые свойства элементарных матриц.
СВОЙСТВО 2.1. Любая элементарная матрица обратима. Матрица, обратная к элементарной, является элементарной.
Доказательство. Непосредственная проверка показывает, что для любого отличного от нуля скаляра А. и произвольных выполняются равенства
На основании этих равенств заключаем, что имеет место свойство 2.1.
СВОЙСТВО 2.2. Произведение элементарных матриц является обратимой матрицей.
Это свойство непосредственно следует из свойства 2.1 и следствия 2.3.
СВОЙСТВО 2.3. Если неособенное строчечное элементарное преобразование переводит -матрицу А в матрицу В, то . Верно и обрсипное утверждение.
Доказательство. Если есть умножение строки на ненулевой скаляр А, то
Если же , то
Легко проверить, что верно также обратное утверждение.
СВОЙСТВО 2.4. Если матрица С получается из матрицы А при помощи цепочки неособенных строчечных элементарных преобразований , то . Верно и обратное утверждение.
Доказательство. По свойству 2.3, преобразование переводит матрицу А в матрицу переводит матрицу в матрицу и т. д. Наконец, переводит матрицу в матрицу Следовательно, .
Легко проверить, что верно и обратное утверждение. Условия обратимости матрицы. Для доказательства теоремы 2.8 необходимы следующие три леммы.
ЛЕММА 2.4. Квадратная матрица с нулевой строкой (столбцом) необратима.
Доказательство. Пусть А - квадратная матрица с нулевой строкой, В - любая матрица, . Пусть - нулевая строка матрицы А; тогда
т. е. i-я строка матрицы АВ является нулевой. Следовательно, матрица А необратима.
ЛЕММА 2.5. Если строки квадратной матрицы линейно зависимы, то матрица необратима.
Доказательство. Пусть А - квадратная матрица с линейно зависимыми строками. Тогда существует цепочка неособенных строчечных элементарных преобразований, переводящих А в ступенчатую матрицу; пусть такая цепочка. По свойству 2.4 элементарных матриц, имеет место равенство
где С - матрица с нулевой строкой.
Следовательно, по лемме 2.4 матрица С необратима. С другой стороны, если бы матрица А была обратимой, то произведение слева в равенстве (1) было бы обратимой матрицей, как произведение обратимых матриц (см. следствие 2.3), что невозможно. Следовательно, матрица А необратима.
Элементарные преобразования матрицы - это такие преобразования матрицы , в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений , которую представляет эта матрица.
Элементарные преобразования используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольному или ступенчатому виду.
Определение
Элементарными преобразованиями строк называют:
В некоторых курсах линейной алгебры перестановка строк матрицы не выделяется в отдельное элементарное преобразование в силу того, что перестановку местами любых двух строк матрицы можно получить, используя умножение любой строки матрицы на константу k {\displaystyle k} , и прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на константу k {\displaystyle k} , k ≠ 0 {\displaystyle k\neq 0} .
Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов .
Элементарные преобразования обратимы .
Обозначение указывает на то, что матрица A {\displaystyle A} может быть получена из B {\displaystyle B} путём элементарных преобразований (или наоборот).
Свойства
Инвариантность ранга при элементарных преобразованиях
Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях).
Если A ∼ B {\displaystyle A\sim B} , то r a n g A = r a n g B {\displaystyle \mathrm {rang} A=\mathrm {rang} B} . |
Эквивалентность СЛАУ при элементарных преобразованиях
Назовём элементарными преобразованиями над системой линейных алгебраических уравнений :- перестановку уравнений;
- умножение уравнения на ненулевую константу;
- сложение одного уравнения с другим, умноженным на некоторую константу.
Нахождение обратных матриц
Теорема (о нахождении обратной матрицы).
Пусть определитель матрицы A n × n {\displaystyle A_{n\times n}} не равен нулю, пусть матрица B {\displaystyle B} определяется выражением B = [ A | E ] n × 2 n {\displaystyle B=_{n\times 2n}} . Тогда при элементарном преобразовании строк матрицы A {\displaystyle A} к единичной матрице E {\displaystyle E} в составе B {\displaystyle B} одновременно происходит преобразование E {\displaystyle E} к A − 1 {\displaystyle A^{-1}} . |