Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Факультет технической кибернетики

Кафедра автоматики и вычислительной техники

ОТЧЕТ

по лабораторной работе №3

Исследование рекуррентных алгоритмов цифровой фильтрации

сигналов методом усреднения.

Выполнил студент гр. 4081/1 Волыхин А.Н.

Проверил: Ярмийчук В.Д.

Санкт-Петербург

1. Цели работы

Цель работы – знакомство с различными алгоритмами цифровой фильтрации сигналов методом усреднения и исследование эффективности их работы в условиях, когда на полезный сигнал наложена помеха типа «белого шума» с нулевым математическим ожиданием и

регулируемой дисперсией.

2. Методика исследования

Исследуются фильтры на основе следующих алгоритмов:

1). Рекуррентный алгоритм усреднения с бесконечной памятью.

Назначение фильтра - выделения постоянной составляющей полезного сигнала на фоне помех.

Выражение для него в рекуррентной форме:

При он обеспечивает .

2). Рекуррентный алгоритм усреднения с постоянным коэффициентом коррекции.

Назначение фильтра - выделения низкочастотных составляющих входного полезного сигнала на фоне помех.

Если принять , то можно записать это уравнение в форме:

Откуда при переходе к непрерывному времени получим передаточную функцию фильтра:

То есть фильтр, построенный по такому алгоритму, при малых значениях эквивалентен

аналоговому низкочастотному фильтру первого порядка.

3). Рекуррентный алгоритм усреднения с конечной памятью.

Назначение фильтра - выделения низкочастотных составляющих входного сигнала

с использованием усреднения только ограниченного числа его последних измерений.

Эффективность цифровой фильтрации, то есть меру снижения уровня помех на выходе фильтра по сравнению с уровнем помех на входе, будем оценивать следующим образом:

Где: - зашумленный сигнал на входе фильтра

Полезный сигнал на входе фильтра

Сигнал на выходе фильтра

Полезный сигнал на выходе фильтра

3. Схема эксперимента (см. приложение 1)

4. Результаты эксперимента

4.1. Рекуррентный алгоритм усреднения с бесконечной памятью

Исследования проводились при постоянном периоде дискретизации, равном 100 мс.

Рассмотрим, как меняется эффективность работы фильтра от величины постоянного входного сигнала (X).

Физически осуществимые ЦФ, которые работают в реальном масштабе времени, для формирования выходного сигнала в дискретный момент времени могут использовать следующие данные: а) значение входного сигнала в момент отсчета, а также некоторое число «прошлых» входных отсчетов некоторое число предшествующих отсчетов выходного сигнала Целые числа тип определяют порядок ЦФ. Классификация ЦФ проводится по-разному в зависимости от того, как используется информация о прошлых состояниях системы.

Трансверсальные ЦФ.

Так принято называть фильтры, которые работают в соответствии с алгоритмом

где - последовательность коэффициентов.

Число является порядком трансверсального цифрового фильтра. Как видно из формулы (15.58), трансверсальный фильтр проводит взвешенное суммирование предшествующих отсчетов входного сигнала и не использует прошлые отсчеты выходного сигнала. Применив z-преобразование к обеим частям выражения (15.58), убеждаемся, что

Отсюда следует, что системная функция

является дробно-рациональной функцией z, имеющей -кратный полюс при и нулей, координаты которых определяются коэффициентами фильтра.

Алгоритм функционирования трансверсального ЦФ поясняется структурной схемой, приведенной на рис. 15.7.

Рис. 15.7. Схема построения трансверсального ЦФ

Основными элементами фильтра служат блоки задержки отсчетных значений на один интервал дискретизации (прямоугольники с символами ), а также масштабные блоки, выполняющие в цифровой форме операции умножения на соответствующие коэффициенты. С выходов масштабных блоков сигналы поступают в сумматор, где, складываясь, образуют отсчет выходного сигнала.

Вид представленной здесь схемы объясняет смысл термина «трансверсальный фильтр» (от англ. transverse - поперечный).

Программная реализация трансверсального ЦФ.

Следует иметь в виду, что структурная схема, изображенная на рис. 15.7, не является принципиальной схемой электрической цепи, а служит лишь графическим изображением алгоритма обработки сигнала. Используя средства языка ФОРТРАН, рассмотрим фрагмент программы, реализующей трансверсальную цифровую фильтрацию.

Пусть в оперативной памяти ЭВМ образованы два одномерных массива длиной М ячеек каждый: массив с именем X, в котором хранятся значения входного сигнала, и массив с именем А, содержащий значения коэффициентов фильтра.

Содержимое ячеек массива X меняется каждый раз с получением нового отсчета входного сигнала.

Предположим, что этот массив заполнен предыдущими отсчетами входной последовательности, и рассмотрим ситуацию, возникающую в момент прихода очередного отсчета, которому в программе просвоено имя S. Данный отсчет должен разместиться в ячейке с номером 1, но лишь после того, как предыдущая запись будет сдвинута на одну позицию вправо, т. е. в сторону запаздывания.

Элементы сформированного таким образом массива X почленно умножаются на элементы массива А и результат заносится в ячейку с именем Y, где накапливается отсчетное значение выходного сигнала. Ниже приводится текст программы трансверсальной цифровой фильтрации:

Импульсная характеристика. Вернемся к формуле (15.59) и вычислим импульсную характеристику трансверсального ЦФ, осуществив обратное z-преобразование. Легко видеть, что каждое слагаемое функции дает вклад, равный соответствующему коэффициенту , смещенному на позиций в сторону запаздывания. Таким образом, здесь

К такому выводу можно прийти и непосредственно, рассматривая структурную схему фильтра (см. рис. 15.7) и полагая, что на его вход подан «единичный импульс» .

Важно отметить, что импульсная характеристика трансверсального фильтра содержит конечное число членов.

Частотная характеристика.

Если в формуле (15.59) провести замену переменной то получим частотный коэффициент передачи

При заданном шаге дискретизации А можно реализовать самые разнообразные формы АЧХ, подбирая должным образом весовые коэффициенты фильтра.

Пример 15.4. Исследовать частотные характеристики трансверсального цифрового фильтра 2-го порядка, выполняющего усреднение текущего значения входного сигнала и двух предшествующих отсчетов по формуле

Системная функция этого фильтра

Рис. 15.8. Частотные характеристики трансверсального ЦФ из примера 15.4: а - АЧХ; б - ФЧХ

откуда находим частотный коэффициент передачи

Элементарные преобразования приводят к следующим выражениям для АЧХ в ФЧХ данной системы:

Соответствующие графики представлены на рис. 15.8, а, б, где по горизонтальным осям отложена величина - фазовый угол интервала дискретизации при текущем значении частоты.

Предположим, например, что , т. е. на один период гармонического входного колебания приходится шесть отсчетов. При этом входная последовательность будет иметь вид

(абсолютные значения отсчетов не играют роли, поскольку фильтр линеен). Используя алгоритм (15.62), находим выходную последовательность:

Можно заметить, что ей отвечает гармонический выходной сигнал той же частоты, что и на входе, с амплитудой, равной от амплитуды входного колебания и с начальной фазой, смещенной на 60° в сторону запаздывания.

Рекурсивные ЦФ.

Этот вид цифровых фильтров характерен тем, что для формирования выходного отсчета используются предыдущие значения не только входного, и выходного сигнала:

(15.63)

причем коэффициенты , определяющие рекурсивную часть алгоритма фильтрации, не равны нулю одновременно. Чтобы подчеркнуть различие структур двух видов ЦФ, трансверсальные фильтры называют также нерекурсивными фильтрами.

Системная функция рекурсивного ЦФ.

Выполнив z-преобразование обеих частей рекуррентного соотношения (15.63), находим, что системная функция

описывающая частотные свойства рекурсивного ЦФ, имеет на z-плоскости полюсов. Если коэффициенты рекурсивной части алгоритма вещественны, то эти полюсы либо лежат на вещественной оси, либо образуют комплексно-сопряженные пары.

Структурная схема рекурсивного ЦФ.

На рис. 15.9 изображена схема алгоритма вычислений, проводимых в соответствии с формулой (15.63). Верхняя часть структурной схемы отвечает трансверсальной (нерекурсивной) части алгоритма фильтрации. Для ее реализации требуется в общем случае масштабных блоков (операций умножения) и ячеек памяти, в которых хранятся входные отсчеты.

Рекурсивной части алгоритма соответствует нижняя часть структурной схемы. Здесь используются последовательных значений выходного сигнала, которые в процессе работы фильтра перемещаются из ячейки в ячейку путем сдвига.

Рис. 15.9. Структурная схема рекурсивного ЦФ

Рис. 15.10. Структурная схема канонического рекурсивного ЦФ 2-го порядка

Недостатком данного принципа реализации является потребность в большом числе ячеек памяти, отдельно для рекурсивной и нерекурсивной частей. Более совершенны канонические схемы рекурсивных ЦФ, в которых используется минимально возможное количество ячеек памяти, равное наибольшему из чисел . В качестве примера на рис. 15.10 изображена структурная схема канонического рекурсивного фильтра 2-го порядка, которой отвечает системная функция

Для того чтобы убедиться в том, что эта система реализует заданную функцию, рассмотрим вспомогательный дискретный сигнал на выходе сумматора 1 и запишем два очевидных уравнения:

(15.67)

Выполнив -преобразование уравнения (15.66), находим, что

С другой стороны, в соответствии с выражением (15.67)

Объединив соотношения (15.68) и (15.69), приходим к заданной системной функции (15.65).

Устойчивость рекурсивных ЦФ.

Рекурсивный ЦФ является дискретным аналогом динамической системы с обратной связью, поскольку в ячейках памяти хранятся значения его предшествующих состояний. Если заданы некоторые начальные условия, т. е. совокупность значений то в отсутствие входного сигнала фильтр будет образовывать элементы бесконечной последовательности играющей роль свободных колебаний.

Цифровой фильтр называется устойчивыу, если возникающий в нем свободный процесс, есть невозрастающая последовательность, т. е. значения при не превышают некоторого положительного числа М независимо от выбора начальных условий.

Свободные колебания в рекурсивном ЦФ на основании алгоритма (15.63) являются решением линейного разностного уравнения

По аналогии с принципом решения линейных дифференциальных уравнений будем искать решение (15.70) в виде показательной функции

с неизвестным пока значением . Подставив (15.71) в (15.70) и сократив на обший множитель, убеждаемся, что а является корнем характеристического уравнения

На основании (15.64) это уравнение в точности совпадает с уравнением, которому удовлетворяют полюсы системной функции рекурсивного ЦФ.

Пусть система корней уравнения (15.72) найдена. Тогда общее решение разностного уравнения (15.70) будет иметь вид

Коэффициенты должны быть подобраны так, чтобы удовлетворялись начальные условия.

Если все полюсы системной функции т. е. числа по модулю не превосходят единицы, располагаясь внутри единичного круга с центром в точке то на основании (15.73) любой свободный процесс в ЦФ будет описываться членами убывающих геометрических прогрессий и фильтр будет устойчив. Ясно, что практически применяться могут только устойчивые цифровые фильтры.

Пример 15.5. Исследовать устойчивость рекурсивного цифрового фильтра 2-го порядка с системной функцией

Характеристическое уравнение

имеет корни

Кривая, описываемая уравнением на плоскости коэффициентов есть граница, выше которой полюсы системной функции вещественны, а ниже - комплексно сопряжены.

Для случая комплексно-сопряженных полюсов поэтому одной из границ области устойчивости является прямая 1.

Рис. 15.11. Область устойчивости рекурсивного фильтра 2-го порядка (полюсы фильтра комплексно сопряжены в области, отмеченной цветом)

Рассматривая вещественные полюсы при имеем условие устойчивости в виде

Физически осуществимые ЦФ, которые работают в реаль­ном масштабе времени, для формирования выходного сигна­ла в i-й дискретный момент времени могут использовать следующие данные: а) значение входного сигнала в моментi-го отсчета, а также некоторое число «прошлых» входных отсчетов ;б) некоторое число предшест­вующих отсчетов выходного сигнала Целые числаmи nопределяютпорядокЦФ. Классификация ЦФ проводится по-разному в зависимости от того, как используется информация о прошлых состояниях системы.

Траисверсальные ЦФ. Так принято называть фильтры, которые работают в соответствии с алгоритмом

где -последовательность коэффициентов.

Число т является порядком трансверсального цифрового фильтра. Как видно из формулы (2.138), трансверсальный фильтр проводит взвешенное суммирование предшествующих отсчетов входного сигнала и не использует прошлые отсчеты выходного сигнала. Применивz-преобразование к обеим частям выражения (2.138), убеждаемся, что

Отсюда следует, что системная функция

является дробно-рациональной функцией z, имеющейm-кратный полюс приz= 0 ит нулей, координаты которых определяются коэффициентами фильтра.

Алгоритм функционирования трансверсального ЦФ пояс­няется структурной схемой, приведенной на рис. 2.17.

Рис. 2.17. Схема построения трансверсального ЦФ

Основными элементами фильтра служат блоки задержки отсчетных значений на один интервал дискретизации (пря­моугольники с символами z -1), а также масштабные блоки, выполняющие в цифровой форме операции умножения на соответствующие коэффициенты. С выходов масштабных блоков сигналы поступают в сумматор, где, складываясь, образуют отсчет выходного сигнала.

Вид представленной здесь схемы объясняет смысл термина «трансверсальный фильтр» (от англ. transverse- поперечный).

Импульсная характеристика. Вернемся к формуле (2.139) и вычислим импульсную характеристику трансверсального ЦФ, осуществив обратноеz-преобразование. Легко видеть, что каждое слагаемое функцииH(z) дает вклад, равный соответ­ствующему коэффициенту , смещенному нап позиций в сторону запаздывания. Таким образом, здесь

К такому выводу можно прийти и непосредственно, рас­сматривая структурную схему фильтра (см. рис. 2.17) и пола­гая, что на его вход подан «единичный импульс» (1, 0, 0, 0, ...).

Важно отметить, что импульсная характеристика трансвер­сального фильтра содержит конечное число членов.

Частотная характеристика. Если в формуле (2.139) провести замену переменной , то получим частотный коэф­фициент передачи

При заданном шаге дискретизации А можно реализовать самые разнообразные формы АЧХ, подбирая должным обра­зом весовые коэффициенты фильтра.

Методы синтеза цифрового фильтра . Наибольшее распространение в практике синтеза цифровых фильтров получили три метода, описанных ниже.

Метод инвариантных импульсных характеристик.

В основе этого метода лежит предположение о том, что синтезируемый ЦФ должен обладать импульсной характеристикой, которая является результатом дискретизации импульсной характеристики соответствующего аналогового фильтра-прототипа. Имея в виду синтез физически реализуемых систем, для которых импульсная характеристика обращается в нуль при t<0 ,получим следующее выражение импульсной характеристики ЦФ:

где T  шаг дискретизации по времени.

Следует обратить внимание на то, что число отдельных членов в выражении импульсной характеристики ЦФ может быть как конечным, так и бесконечным. Это определяет структура синтезируемого фильтра: импульсной характеристике с конечным числом отсчетов отвечает трансверсальный фильтр, в то время как для реализации неограниченно протяженной импульсной характеристики требуется рекурсивный ЦФ.

Связь между коэффициентом импульсной характеристики и структурой ЦФ особенно проста для транверсального фильтра. В общем случае синтез структуры фильтра осуществляется путем применения z -преобразования к последовательности вида приведенного выше. Найдя системную функцию H(z) фильтра, следует сравнить ее с общим выражением и определить коэффициенты транверсальной и рекурсивной частей. Степень приближения амплитудно-частотной характеристики синтезированного ЦФ к характеристике аналогового прототипа зависит от выбранного шага дискретизации. При необходимости следует вычислить частотный коэффициент передачи ЦФ, осуществив в системной функции H(z) замену переменной по формуле
, и затем сравнить результат с частотным коэффициентом передачи аналоговой цепи.

Синтез ЦФ на основе дискретизации дифференциального уравнения

аналоговой цепи.

К структуре ЦФ, приближенно соответствующего известной аналоговой цепи, можно прийти, осуществив дискретизацию дифференциального уравнения, описывающего аналоговый прототип. Как пример использования этого метода рассмотрим синтез ЦФ, отвечающего колебательной динамической системе 2-го порядка, для которой связь между выходным колебанием y(t) и входным колебанием x(t) устанавливается дифференциальным уравнением

(2.142)

Предположим, что шаг дискретизации равен  t и рассмотрим совокупности дискретных отсчетов  у 1  и  х 1  . Если в формуле заменить производные их конечно-разностными выражениями, то дифференциальное уравнение превратиться в разностное уравнение

Перегруппировав слагаемые, получим:

(2.144)

Разностное уравнение задает алгоритм рекурсивного фильтра 2-го порядка, который моделирует аналоговую колебательную систему и называется цифровым резонатором. При соответствующем выборе коэффициентов цифровой резонатор может выполнять роль частотно-избирательного фильтра, подобного колебательному контуру.

Метод инвариантных частотных характеристик .

Принципиально невозможно создать ЦФ, частотная характеристика которого в точности повторяла бы частотную характеристику некоторой аналоговой цепи. Причина состоит в том, что, как известно, частотный коэффициент передачи ЦФ является периодической функцией частоты с периодом, определяемым шагом дискретизации.

Говоря о подобии (инвариантности) частотных характеристик аналогового и цифрового фильтров, можно требовать лишь то, чтобы весь бесконечный интервал частот ω а, относящихся к аналоговой системе, был преобразован в отрезок частот ω ц цифрового фильтра, удовлетворяющих неравенству
при сохранении общего вида АЧХ.

Пусть K а (р)  передаточная функция аналогового фильтра, задаваемого дробно-рациональным выражением по степеням p . Если воспользоваться связью между переменными z и p ,то можно записать:

. (2.145)

С помощью этого закона связи между p и z нельзя получить физически реализуемую системную функцию фильтра, так как подстановка в выражение K а (р) даст системную функцию, не выражающуюся в виде частного двух многочленов. Поэтому для синтезов фильтров нижних частот получила распространение связь вида

, (2.146)

которая также переводит точки единичной окружности, лежащей в плоскости z, в точки мнимой оси на плоскости p. Тогда

, (2.147)

откуда вытекает соотношение между частотными переменными  аналоговой и цифровой систем:

. (2.148)

Если частота дискретизации достаточно велика ( ц T <<1), то, как легко видно из формулы (2.147),  а  ц . Таким образом, на низких частотах характеристики аналогового и цифрового фильтров практически совпадают. В общем случае нужно принимать во внимание трансформацию масштаба по оси частот цифрового фильтра.

Практически процедура синтеза ЦФ состоит в том, что в функции K а (р) аналоговой цепи выполняется замена переменной по формуле (2.145). Полученная при этом системная функция ЦФ оказывается дробно-рациональной и поэтому позволяет непосредственно записать алгоритм цифровой фильтрации.

Вопросы для самопроверки

Какой фильтр называется согласованным.

Что собой представляет импульсная характеристика фильтра.

Что собой представляет сигнал на выходе согласованного фильтра.

Какие фильтры называются цифровыми.

В чем отличие алгоритмов работы рекурсивного и трансверсального фильтров.

Назовите основные методы синтеза цифровых фильтров.

Назовите основные свойства дискретного преобразования Фурье.