texvc -окре́стность множества в функциональном анализе и смежных дисциплинах - это такое множество, каждая точка которого удалена от данного множества не более, чем на Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \varepsilon .

Определения

• Пусть Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): (X,\varrho) есть метрическое пространство , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): x_0 \in X, и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \varepsilon > 0. Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \varepsilon -окрестностью Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc называется множество

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): U_{\varepsilon}(x_0) = \{ x\in X \mid \varrho(x,x_0) < \varepsilon \}.

• Пусть дано подмножество Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): A \subset X. Тогда Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \varepsilon -окрестностью этого множества называется множество

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): U_{\varepsilon}(A) = \bigcup\limits_{x \in A} U_{\varepsilon}(x).

Замечания

• Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \varepsilon -окрестностью точки Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): x_0 таким образом называется открытый шар с центром в Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): x_0 и радиусом Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \varepsilon.
• Прямо из определения следует, что

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): U_{\varepsilon}(A) = \{ x\in X \mid \exists y\in A\; \varrho(x,y) < \varepsilon\}.

• Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \varepsilon -окрестность является окрестностью и, в частности, открытым множеством .

Примеры

Напишите отзыв о статье "Эпсилон-окрестность"

Отрывок, характеризующий Эпсилон-окрестность

– Ну, что – послушаем? – нетерпеливо подталкивала меня малышка.
Мы подошли вплотную... И я почувствовала чудесно-мягкое прикосновение сверкающей волны... Это было нечто невероятно нежное, удивительно ласковое и успокаивающее, и в то же время, проникающее в самую «глубинку» моей удивлённой и чуть настороженной души... По моей стопе пробежала, вибрируя миллионами разных оттенков, тихая «музыка» и, поднимаясь вверх, начала окутывать меня с головой чем-то сказочно красивым, чем-то, не поддающимся никаким словам... Я чувствовала, что лечу, хотя никакого полёта наяву не было. Это было прекрасно!.. Каждая клеточка растворялась и таяла в набегающей новой волне, а сверкающее золото вымывало меня насквозь, унося всё плохое и грустное и оставляя в душе только чистый, первозданный свет...
Я даже не почувствовала, как вошла и окунулась в это сверкающее чудо почти с головой. Было просто невероятно хорошо и не хотелось никогда оттуда выходить...
– Ну, всё, хватит уже! Нас задание ждёт! – ворвался в сияющую красоту напористый Стеллин голосок. – Тебе понравилось?
– О, ещё как! – выдохнула я. – Так не хотелось выходить!..
– Вот, вот! Так и «купаются» некоторые до следующего воплощения... А потом уже больше сюда не возвращаются...

Рассмотрено общее определение окрестности точки на числовой прямой. Определения эпсилон окрестности, левосторонней, правосторонней и проколотых окрестностей конечных и бесконечно удаленных точек. Свойство окрестности. Доказана теорема о равносильности использования эпсилон окрестности и произвольной окрестности в определении предела функции по Коши.

Содержание

Определение окрестности точки

Окрестностью действительной точки x 0 называется любой открытый интервал, содержащий эту точку:
.
Здесь ε 1 и ε 2 - произвольные положительные числа.

Эпсилон - окрестностью точки x 0 называется множество точек, расстояние от которых до точки x 0 меньше ε :
.

Проколотой окрестностью точки x 0 называется окрестность этой точки, из которой исключили саму точку x 0 :
.

Окрестности конечных точек

В самом начале было дано определение окрестности точки. Ее обозначают как . Но можно явно указать, что окрестность зависит от двух чисел, используя соответствующие аргументы:
(1) .
То есть окрестность - это множество точек, принадлежащее открытому интервалу .

Приравняв ε 1 к ε 2 , получим эпсилон - окрестность:
(2) .
Эпсилон - окрестность - это множество точек, принадлежащее открытому интервалу с равноудаленными концами.
Разумеется, букву эпсилон можно заменить на любую другую и рассматривать δ - окрестность, σ - окрестность, и т.д.

В теории пределов можно использовать определение окрестности, основанное как на множестве (1), так и на множестве (2). Использование любой из этих окрестностей дает эквивалентные результаты (см. ). Но определение (2) проще, поэтому часто используют именно эпсилон - окрестность точки, определяемую из (2).

Также широко используют понятия левосторонних, правосторонних и проколотых окрестностей конечных точек. Приводим их определения.

Левосторонняя окрестность действительной точки x 0 - это полуоткрытый интервал, расположенный на действительной оси слева от точки x 0 , включая саму точку:
;
.

Правосторонняя окрестность действительной точки x 0 - это полуоткрытый интервал, расположенный справа от точки x 0 , включая саму точку:
;
.

Проколотые окрестности конечных точек

Проколотые окрестности точки x 0 - это те же самые окрестности, из которых исключена сама точка. Они обозначаются с кружочком над буквой. Приводим их определения.

Проколотая окрестность точки x 0 :
.

Проколотая эпсилон - окрестность точки x 0 :
;
.

Проколотая левосторонняя окрестность :
;
.

Проколотая правосторонняя окрестность :
;
.

Окрестности бесконечно удаленных точек

Наряду с конечными точками, также вводят понятие окрестности бесконечно удаленных точек. Все они являются проколотыми, поскольку не существует бесконечно удаленного действительного числа (бесконечно удаленная точка определяется как предел бесконечно большой последовательности).

.
;
;
.

Можно было определить окрестности бесконечно удаленных точек и так:
.
Но вместо M мы используем , чтобы окрестность с меньшим ε являлась подмножеством окрестности с большим ε , как и для окрестностей конечных точек.

Свойство окрестности

Далее мы используем очевидное свойство окрестности точки (конечной или бесконечно удаленной). Оно заключается в том, что окрестности точек с меньшими значениями ε являются подмножествами окрестностей с большими значениями ε . Приводим более строгие формулировки.

Пусть есть конечная или бесконечно удаленная точка. И пусть .
Тогда
;
;
;
;
;
;
;
.

Также справедливы и обратные утверждения.

Эквивалентность определений предела функции по Коши

Теперь покажем, что в определении предела функции по Коши, можно использовать как произвольную окрестность , так и окрестность с равноудаленными концами .

Теорема
Определения предела функции по Коши, в которых используются произвольные окрестности и окрестности с равноудаленными концами эквивалентны.

Доказательство

Сформулируем первое определение предела функции .
Число a является пределом функции в точке (конечной или бесконечно удаленной), если для любых положительных чисел существуют такие числа , зависящие от и , что для всех , принадлежит соответствующей окрестности точки a :
.

Сформулируем второе определение предела функции .
Число a является пределом функции в точке , если для любого положительного числа существует такое число , зависящее от , что для всех :
.

Доказательство 1 ⇒ 2

Докажем, что если число a является пределом функции по 1-му определению, то оно также является пределом и по 2-му определению.

Пусть выполняется первое определение. Это означает, что имеются такие функции и , так что для любых положительных чисел выполняется следующее:
при , где .

Поскольку числа и произвольные, то приравняем их:
.
Тогда имеются такие функции и , так что для любого выполняется следующее:
при , где .

Заметим, что .
Пусть есть наименьшее из положительных чисел и . Тогда, согласно отмеченному выше ,
.
Если , то .

То есть мы нашли такую функцию , так что для любого выполняется следующее:
при , где .
Это означает, что число a является пределом функции и по второму определению.

Доказательство 2 ⇒ 1

Докажем, что если число a является пределом функции по 2-му определению, то оно также является пределом и по 1-му определению.

Пусть выполняется второе определение. Возьмем два положительных числа и . И пусть - наименьшее из них. Тогда, согласно второму определению, имеется такая функция , так что для любого положительного числа и для всех , следует, что
.

Но согласно , . Поэтому из того, что следует, что
.

Тогда для любых положительных чисел и , мы нашли два числа , так что для всех :
.

Это означает, что число a является пределом и по первому определению.

Теорема доказана.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.

Теоретический минимум

Понятие предела применительно к числовым последовательностям уже вводилось в теме " ".
Рекомендуется сначала ознакомиться с содержащимся там материалом.

Переходя к предмету этой темы, напомним понятие функции. Функция представляет собой очередной пример отображения. Мы будем рассматривать самый простой случай
вещественной функции одного вещественного аргумента (в чём заключается сложность других случаев - будет сказано позже). Функция в рамках этой темы понимается как
закон, по которому каждому элементу множества , на котором определена функция, ставится в соответствие один или несколько элементов
множества , называемого множеством значений функции. Если каждому элементу области определения функции ставится в соответствие один элемент
множества значений, то функция называется однозначной, в противном случае функция называется многозначной. Мы здесь будем говорить для простоты только об
однозначных функциях.

Сразу хотелось бы подчеркнуть принципиальное отличие функции от последовательности: существенно различны множества, связанные отображением в этих двух случаях.
Чтобы избежать необходимости использовать терминологию общей топологии, поясним различие с помощью неточных рассуждений. При обсуждении предела
последовательности мы говорили только об одном варианте: неограниченный рост номера элемента последовательности. При этом росте номера сами элементы
последовательности вели себя гораздо разнообразнее. Они могли "накапливаться" в малой окрестности некоторого числа; они могли неограниченно расти и т.п.
Грубо говоря , задание последовательности - задание функции на дискретной "области определения". Если же говорить о функции, определение которой дано
в начале темы, то понятие предела следует строить аккуратнее. Имеет смысл говорить о пределе функции при стремлении её аргумента к определённому значению .
Такая постановка вопроса не имела смысла применительно к последовательностям. Возникает необходимость внести некоторые уточнения. Все они связаны с тем,
как именно аргумент стремится к тому значению , о котором идёт речь.

Рассмотрим несколько примеров - пока что вскользь:


Эти функции позволят нам рассмотреть самые разные случаи. Приведём здесь же графики этих функций для большей наглядности изложения.

Функция в любой точке области определения имеет предел - это понятно интуитивно. Какую бы точку области определения мы ни взяли,
сразу можно сказать, к какому значению стремится функция, при стремлении аргумента к выбранному значению, причём предел будет конечным, если только аргумент
не стремится к бесконечности. График функции имеет излом. Это сказывается на свойствах функции в точке излома, но с точки зрения предела
эта точка ничем не выделена. Функция уже интереснее: в точке непонятно, какое значение предела приписать функции.
Если мы подходим к точке справа, то функция стремится к одному значению, если слева - функция стремится к другому значению. В предыдущих
примерах такого не было. Функция при стремлении к нулю хоть слева, хоть справа ведёт себя одинаково, стремясь к бесконечности -
в отличие от функции , которая при стремлении аргумента к нулю стремится к бесконечности, но знак бесконечности зависит от того, с какой
стороны мы подходим к нулю. Наконец, функция ведёт себя в нуле совершенно непонятно.

Формализуем понятие предела с помощью языка "эпсилон-дельта". Основное отличие от определения предела последовательности будет заключаться в необходимости
прописать стремление аргумента функции к некоторому значению. Для этого требуется вспомогательное в данном контексте понятие предельной точки множества.
Точка называется предельной точкой множества , если в любой окрестности содержится бесчисленное множество точек,
принадлежащих и отличных от . Чуть позже станет ясно, зачем требуется давать такое определение.

Итак, число называется пределом функции в точке , являющейся предельной точкой множества , на котором определена
функция, если

Последовательно разберём это определение. Выделим здесь части, связанные со стремлением аргумента к значению и со стремлением функции
к значению . Следует понимать общий смысл записанного утверждения, который приближённо можно трактовать следующим образом.
Функция стремится к при , если взяв число из достаточно малой окрестности точки , мы будем
получать значение функции из достаточно малой окрестности числа . И чем меньше будет окрестность точки , из которой берутся значения
аргумента, тем меньше станет окрестность точки , в которую будут попадать соответствующие значения функции.

Снова вернёмся к формальному определению предела и прочитаем его в свете только что сказанного. Положительное число ограничивает окрестность
точки , из которой будем брать значения аргумента. Причём значения аргумента, конечно, из области определения функции и не совпадающие с самой
точкой : мы ведь стремление пишем, а не совпадение! Так вот если мы возьмём значение аргумента из указанной -окрестности точки ,
то значение функции попадёт в -окрестности точки .
Наконец, сводим определение воедино. Какой бы малой мы ни выбрали -окрестность точки , всегда найдётся такая -окрестность точки ,
что при выборе значений аргумента из неё мы попадём в окрестность точки . Разумеется, размер -окрестности точки при этом
зависит от того, какая была задана окрестность точки . Если окрестность значения функции будет достаточно велика, то и соответствующий разброс значений
аргумента будет большим. С уменьшением окрестности значения функции уменьшится и соответствующий разброс значений аргумента (см. рис. 2).

Осталось уточнить некоторые детали. Во-первых, требование, чтобы точка была предельной, избавляет от необходимости заботиться, что точка
из -окрестности вообще принадлежит области определения функции. Во-вторых, участие в определении предела условия означает,
что аргумент может стремиться к значению как слева, так и справа.

Для случая, когда аргумент функции стремится к бесконечности, следует отдельно определить понятие предельной точки. называется предельной
точкой множества , если для любого положительного числа в интервале содержится бесчисленное множество
точек из множества .

Вернёмся к примерам. Функция особого интереса для нас не представляет. Разберёмся подробнее с другими функциями.

Примеры.

Пример 1. График функции имеет излом .
Функция несмотря на особенность в точке имеет в этой точке предел. Особенность в нуле - потеря гладкости.

Пример 2. Односторонние пределы .
Функция в точке не имеет предела. Как уже отмечалось, для существования предела требуется, чтобы при стремлении
слева и справа функция стремилась к одному и тому же значению. Здесь это, очевидно, не выполняется. Однако можно ввести понятие одностороннего предела.
Если аргумент стремится к данному значению со стороны бòльших значений, то говорят о правостороннем пределе; если со стороны меньших значений -
о левостороннем пределе.
В случае функции
- правосторонний предел Однако можно привести пример, когда бесконечные колебания синуса не мешают существованию предела (причём двустороннего).
Примером может служить функция . График приведён ниже; по понятным причинам построить его до конца в окрестности
начала координат невозможно. Предел при равен нулю.

Замечания .
1. Существует подход к определению предела функции, использующий предел последовательности - т.н. определение Гейне. Там строится последовательность точек, сходящаяся к требуемому значению
аргумента - тогда соответствующая последовательность значений функции сходится к пределу функции при этом значении аргумента. Эквивалентность определения Гейне и определения на языке
"эпсилон-дельта" доказывается.
2. Случай функций двух и более аргументов усложняется тем, что для существования предела в точке требуется, чтобы значение предела получалось одним и тем же при любом способе стремления аргумента
к требуемому значению. Если аргумент один, то стремиться к требуемому значению можно слева или справа. В случае большего количества переменных число вариантов резко возрастает. Случай функций
комплексной переменной и вовсе требует отдельного разговора.