Тогда функцию f(x 1 ,x 2 ,x 3) можно представить в виде дизъюнкции двух функций от двух переменных и эта формула будет иметь вид:

Рассмотрим следующие формулы:

Левая часть первой формулы эквивалентна правой, поскольку для x 1 =0 и в соответствии с операцией конъюнкции. Аналогично можно показать справедливость второй формулы. Таким образом, поставив эти формулы в предыдущую дизъюнкцию, получим:

Это выражение называется разложением функции f(x 1 ,x 2 ,x 3) по переменной x 1 .

Теперь аналогично можно разложить функции f(0,x 2 ,x 3) и f(1,x 2 ,x 3) по переменной x 2 . Получим

Подставляя эти формулы в предыдущие получим

Внесем в соответствии с дистрибутивностью операции & переменную x 1 и ее инверсию в скобки, получим

В общем виде для функции f(x 1 ,x 2 ,..,x n) от n переменных разложение по m переменным (m£n) имеет вид

где дизъюнкция берется по всем 2 m наборам переменных x 1 ,x 2 ,..,x m .

Рассмотрим разложение (*4) при крайнем случае, когда m=n. (см. пример (*3)).

Тогда во всех конъюнкциях значения функции f на каждом фиксированном наборе имеет значения равные нулю или единице. Удалив все нулевые конъюнкции, получим новое разложение и в этом новом разложении удалим в конъюнкциях сомножители функций, т.к. они равны 1. Оставшееся выражение называется СДНФ (совершенная дизъюнктивная нормальная форма).

Проделаем все это для примера (*3).

После удаления из (*3) конъюнкций с нулевыми значениями функции f на заданных наборах, получим:

Так как в соответствии с таблицей истинности

f(0,0,0) = f(0,1,0) = f(1,1,0) = f(1,1,1)=1

то из конъюнкций уберем сомножители функций, после чего получим:

Это и есть совершенная дизъюнктивная нормальная форма булевой функции f.

Лемма. Любая булева функция (кроме константы "0") имеет СДНФ, при том только одну.

Аналогично можно ввести конъюнктивную форму,

Построение СДНФ для функции, заданной таблицей

Данное следствие носит конструктивный характер, т.к. оно по таблице функции позволяет построить формулу, являющуюся СДНФ (если ).
СДНФ функции f содержит ровно столько конъюнкций, сколько единиц в таблице f ; каждому “единичному” набору (d 1 ,…,d n), т.е. набору, на котором значение функции равно 1, соответствует конъюнкция всех переменных, в которой x i взято с отрицанием, если d i=0 , и без отрицания, если d i =1 .

Пусть s принимает значения 0 или 1, т.е. s {0, 1}.

Введем обозначение:

x s = Øx , если s = 0, x s = x , если s = 1.

Т.е. x 0 = Øx , x 1 = x .

Очевидно, что x s = 1, если x = s и x s = 0, если x s .

Теорема 4.5 (о разложении булевой функции по переменным).

Каждая булева функция f (x 1 , x 2 , ... , x n ) может быть представлена в виде:

f (x 1 , x 2 , ... , x n ) = f (x 1 , x 2 , ... , x m , x m +1 , ... , x n ) =

V x 1 s 1 &x 2 s 2 &...&x m sm & f (s 1 , s 2 , ... s m , x m +1 , ... , x n ), (4.1)

m n , где дизъюнкция берется по всем наборам (s 1 , s 2 , ... , s m ) (их 2 m ).

Например, для m = 2, n = 4 разложение (4.1) включает в себя четыре (2 m = 2 2 =4) конъюнкции и имеет вид:

f (x 1 , x 2 , x 3 , x 4) = x &x &f (0, 0, x 3 , x 4) V x &x &f (0, 1, x 3 , x 4) V x & x &f (1, 0, x 3 , x 4) V x & x &f (1, 1, x 3 , x 4) = Øx 1 &Øx 2 &f (0, 0, x 3 , x 4) V Øx 1 &x 2 &f (0, 1, x 3 , x 4) V x 1 &Øx 2 &f (1, 0, x 3 , x 4) V x 1 &x 2 &f (1, 1, x 3 , x 4).

Доказательство теоремы 4.5.

Теорема будет доказана, если показать, что равенство (4.1) выполняется для произвольного набора переменных (y 1, y 2 , ... , y m , y m +1 , ... , y n ) .

Подставим этот произвольный набор переменных в левую и правую части равенства (4.1).

В левой части получим f (y 1, y 2 , ... , y n ) .

Т. к. y s = 1 только, когда y = s , то среди 2 m конъюнкций y 1 s 1 &y 2 s 2 &...&y m sm в правой части (4.1) только одна обратится в 1 – та, в которой y 1 = s 1 ,…, y m = s m . Все остальные конъюнкции равны 0. Поэтому в правой части (4.1) получим:

y 1 y 1 &y 2 y 2 &...&y m ym &f (y 1, y 2 , ... , y m , y m +1 , ... , y n ) = f (y 1, y 2 , ... , y n ) .

Теорема 4.5 доказана.

Теорема 4.6 (о представлении булевой функции формулой в СДНФ),

Всякая булева функция f (x 1 , x 2 , ... , x n ),не равная тождественно 0, может быть представлена формулой в СДНФ, которая определяется однозначно с точностью до перестановки дизъюнктивных членов.

Доказательство.

При m = n получим важное следствие теоремы 4.5:

f (x 1 , x 2 , ... , x n ) = V x 1 s 1 &x 2 s 2 &...&x n sn , (4.2)

f (s 1 , s 2 , ... , s n ) = 1

где дизъюнкция берется по всем наборам (s 1 , s 2 , ... , s n ), на которых f = 1.

Очевидно, что разложение (4.2) есть не что иное, как СДНФ формулы f , которая содержит столько конъюнкций, сколько единиц в таблице значений f . Следовательно, СДНФ для всякой булевой функции единственна с точностью до перестановки ее дизъюнктивных членов.

Очевидно также, что для булевой функции f (x 1 , x 2 , ... , x n ), тождественно равной 0, разложение (2) не существует.

В силу изложенного для получения формулы булевой функции f (x 1 , x 2 , ... , x n ) в СДНФ можно воспользоваться следующим алгоритмом.

Алгоритм 4.3. (Алгоритм представления булевой функции, заданной таблицей, формулой в СДНФ).

Шаг 1. s 1 , s 2 , ... , s n , для которых значение f равно 1, т. е. f (s 1 , s 2 , ... , s n ) = 1.

Шаг 2. Для каждого такого набора (строки таблицы) составляем конъюнкцию x 1 s 1 &x 2 s 2 &...&x n sn , где x i si = x i , если s i = 1 и x i si =Øx i , если s i = 0, i = 1, 2, ... ,n .

Шаг 3. Составляем дизъюнкцию всех полученных конъюнкций. В результате получится формула данной функции в СДНФ.

Пример 4.15.

Найдем формулу в СДНФ для функции f (x 1 , x 2 , x 3), заданной таблицей 4.4.

f (x 1 , x 2 , x 3) =1. Это 4-ая, 5-ая. 6-ая и 8-ая строки.

2. Для каждой выбранной строки составляем конъюнкции по правилу, указанному в шаге 2. Получим соответственно для четырех выбранных строк:

x 1 0 &x 2 1 &x 3 1 = Øx 1 &x 2 &x 3 .

x 1 1 &x 2 0 &x 3 0 = x 1 &Øx 2 &Øx 3 .

x 1 1 &x 2 0 &x 3 1 = x 1 &Øx 2 &x 3 .

x 1 1 &x 2 1 &x 3 1 = x 1 &x 2 &x 3 .

3. Составляем дизъюнкцию всех полученных конъюнкций и находим СДНФ:

f (x 1 , x 2 , x 3) = Øx 1 &x 2 &x 3 V x 1 &Øx 2 &Øx 3 V x 1 &Øx 2 &x 3 V x 1 &x 2 &x 3 .

Убеждаемся, что это выражение совпадает с полученным ранее в примере 4.13 представлением нашей формулы в СДНФ.

Замечание. Если булева функция задана формулой в СДНФ, то, применяя алгоритм 4.3 в обратной последовательности, легко можем получить таблицу значений этой функции.

Теорема 4.7 (о представлении булевой функции формулой в СКНФ),

Всякая булева функция f (x 1 , x 2 , ... , x n ),не равная тождественно 1, может быть представлена формулой в СКНФ, которая определяется однозначно с точностью до перестановки дизъюнктивных членов.

Доказательство.

Рассмотрим функцию Øf (x 1 , x 2 , ... , x n ). В соответствии с теоремой 4.6, если она не равна тождественно 0, существует ее формула в СДНФ. Обозначим эту формулу F 1 . Очевидно, условие, что функция Øf (x 1 , x 2 , ... , x n ) не равна тождественно 0, равносильно условию, что функция f (x 1 , x 2 , ... , x n ) не равна тождественно 1. Кроме того, по закону де Моргана формула F 2 º ØF 1 находится в СКНФ (отрицание конъюнкции есть дизъюнкция отрицаний). По закону двойного отрицания

F 2 º ØF 1 º ØØf (x 1 , x 2 , ... , x n ) º f (x 1 , x 2 , ... , x n ),

что и доказывает теорему.

Для получения формулы булевой функции f (x 1 , x 2 , ... , x n ) в СКНФ следует воспользоваться следующим алгоритмом.

Алгоритм 4.4. (Алгоритм представления булевой функции, заданной таблицей, формулой в СКНФ)

Шаг 1. Выбираем в таблице все наборы переменных s 1 , s 2 , ... , s n , для которых значение f (s 1 , s 2 , ... , s n ) = 0.

Шаг 2. Для каждого такого набора (строки таблицы) составляем дизъюнкцию

x 1 Ø s 1 Vx 2 Ø s 2 V...Vx n Ø sn , где x i Ø si = x i , если s i = 0 и x i Ø si = Øx i , если s i = 1, i = 1, 2, ... , n .

Шаг 3. Составляем конъюнкцию всех полученных дизъюнкций. В результате получится СКНФ.

Пример 4.16.

Найдем формулу в СКНФ для функции f (x 1 , x 2 , x 3), заданной таблицей 4.4.

1. Выберем в таблице строки, где f (x 1 , x 2 , x 3) = 0. Это 1-ая, 2-ая и 3-я и 7-ая строки.

2. Для каждой выбранной строки составляем дизъюнкции по правилу, указанному в шаге 2. Получим соответственно для трех выбранных строк:

x 1 1 Vx 2 1 Vx 3 1 = x 1 Vx 2 Vx 3 .

x 1 1 Vx 2 1 Vx 3 0 = x 1 Vx 2 VØx 3 .

x 1 1 Vx 2 0 Vx 3 1 = x 1 VØx 2 Vx 3 .

x 1 0 Vx 2 0 Vx 3 1 = Øx 1 VØx 2 V x 3 .

3. Составляем конъюнкцию всех полученных дизъюнкций и находим СКНФ:

f (x 1 , x 2 , x 3) = (x 1 Vx 2 Vx 3)&(x 1 Vx 2 VØx 3)&(x 1 VØx 2 Vx 3)&(Øx 1 VØx 2 Vx 3).

Это выражение совпадает с полученным ранее в примере 4.14 представлением нашей формулы в СКНФ.

Замечание. Т. к. всего строк в таблице функции 2 n , то, если число дизъюнктивных членов в СДНФ равно p , а число конъюнктивных членов в СКНФ равно q , то p +q =2 n .

Так, для функции, рассмотренной в примерах 4.15 и 4.16, n = 3, p = 4, q = 4, p + q = 8 = 2 3 .

3.1 Разложение булевых функций по переменным

3.2 Алгебра Жегалкина

Выше мы показали, что любая булева функция может быть задана с помощью таблицы истинности. В настоящем разделе излагается переход от табличного перехода задания функции к аналитическому.

3.1 Разложение булевых функций по переменным.

Пусть G– параметр, равный 0 или 1. Введем обозначение:

Проверкой легко установить, что x G = 1, тогда и только тогда, когдаx =G. Отсюда следует, конъюнкция
равна 1 (здесьGравен 0 или 1) тогда и только тогда, когда
. Например, конъюнкция
(в которойG 2 =G 1 = 0,G 3 =G 4 = 1) равна 1 только в случае, когдаx 1 =x 2 = 0,x 3 =x 4 = 1.

Теорема 1 Всякая булева функция f (x 1 , x 2 ,…, x n ) может быть представлена в следующей форме:

где 1 ≤ k ≤ n , в дизъюнкции берется по всем наборам значений переменных.

Это представление носит название разложения функции по переменным
. Например, приn= 4,k= 2 разложение (3.1) имеет вид:

.

Докажем справедливость разложения (3.1). Для этого возьмем произвольный набор значений переменных
. Покажем, что левая и правая части соотношения (3.1) принимают при нем одно и то же значение. Действительно, так какx G = 1 тогда и только тогда, когдаx =G, то среди 2 К конъюнкции
правой части (3.1) в единицу обращается только одна, в которой
. Все остальные конъюнкции
равны нулю.

Поэтому . В качестве следствия из разложения (3.1) получаем следующие два специальных разложения.

Разложение по переменной x n :

Если булева функция не есть константа 0, то справедливо разложение

Разложение по всем переменным:

,
(3.3)

где дизъюнкция берется по всем наборам
, при которых значение функции
равно 1.

Разложение (3.3) называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (сокращенная запись СДНФ) функции.

Разложение (3.3) дает способ построения СДНФ. Для этого в таблице истинности отмечаем все строки
, в которых
. Для каждой такой строки образуем конъюнкцию
и затем все полученные конъюнкции соединяем знаком дизъюнкции.

Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между таблицей истинности функции
и ее СДНФ. А это значит, что СДНФ для булевой функции единственна.

Единая булева функция, не имеющая СДНФ, есть константа 0.

Пример 1 Найти совершенную дизъюнктивную форму для функции
.

Составим таблицу истинности для данной функции:

Отсюда получаем:
==.

Важную роль в алгебре логики играет следующее разложение булевых функций.

Теорема 2 Всякая булева функция
может быть представлена в следующей форме:

где 1≤k≤n, а конъюнкция беретсяпо всем 2 k наборам значений переменных.

Действительно, пусть
– произвольный набор значений переменных. Покажем, что левая и правая части соотношения (3.4) принимают при нем одно и то же значение. Так как
только тогда, когда
, то среди 2 k дизъюнкций
правой части (3.4) в 0 обращается только одна, в которой
. Все остальные дизъюнкции равны 1.

Поэтому
==
.

Непосредственно из разложения (3.4) следуют разложения булевых функций:

Последнее разложение носит название совершенной конъюнктивной нормальной формы (СКНФ). Разложение (3.6) дает способ построения СКНФ. Для этого в таблице истинности отмечаем все строки
, в которых. Для каждой такой строки образуем дизъюнкцию
и затем все полученные конъюнкции соединяем знаком конъюнкции. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между таблицей истинности функции
и ее СКНФ. А это значит, что СКНФ для булевой функции единственна.

Единственная булева функция, не имеющая СКНФ, есть константа 1.

Пример 2 Найти совершенную конъюнктивную нормальную форму для функции
.

Составим таблицу истинности для данной функции.

Отсюда получаем СКНФ

Формула вида (краткая запись
), где
– конъюнкции
называетсядизъюнктивной нормальной формой (ДНФ).

В силу приведенного определения ДНФ будут, например, выражения:
,
.

Как отмечено в пункте 2.2, все логические операции можно свести к трем: конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Причем, ввиду закона де Моргана, знак отрицания можно предполагать отнесенным только к переменным.

Теперь, используя дистрибутивный закон, раскрываем скобки и получаем дизъюнктивную нормальную форму. Итак, справедлива следующая теорема.

Теорема 3 Для любой формулы алгебры логики существует равносильная ей дизъюнктивная нормальная форма.

Доказательство данной теоремы дает способ построения дизъюнктивной нормальной формы для любой формулы алгебры логики.

Пример 3 Найти дизъюнктивную нормальную форму для следующей формулы:
.

Исключая знак
по закону
и применяя законы де Моргана и двойного отрицания, получаем:

Затем, применяя закон дистрибутивности, раскроем скобки

Последнее выражение есть дизъюнктивная нормальная форма.

Форма вида
(краткая запись), где
- дизъюнкции
называетсяконъюнктивной нормальной формой (КНФ).

Такими являются, например, выражения:

,
.

Как показано выше, для любой формулы алгебры логики существует равносильная ей дизъюнктивная форма. Используя дистрибутивный закон , из данной ДНФ легко получить КНФ.

Итак, справедлива следующая теорема.

Теорема 4 Для любой формулы алгебры логики существует равносильная ей конъюнктивная нормальная форма.

Доказательство данной теоремы дает способ построения конъюнктивной нормальной формы для любой формулы алгебры логики.

Пример 4 Найти дизъюнктивную и конъюнктивную нормальные формы для следующей формулы:
.

Используя закон
, исключаем знак
. Получаем формулу
.

Используя закон де Моргана, получаем формулу
. Раскрывая скобки, получаем дизъюнктивную нормальную форму

.

Чтобы получить конъюнктивную нормальную форму, применим к формуле
дистрибутивный закон, получаем:

Последнее выражение является конъюнктивной нормальной формой. Так как
и
, то полученная КНФ равносильна следующей КНФ:

Среди всех нормальных формул данной формулы выделим совершенную нормальную форму как дизъюнктивную, так и конъюнктивную. Учитывая разложение (3), нетрудно заметить, что совершенная дизъюнктивная нормальная форма формулы алгебры логики, содержащей ровно nразличных переменных, есть ее дизъюнктивная нормальная форма, в которой:

1) все конъюнкции попарно различны;

2) каждая конъюнкция содержит ровно nпеременных;

3) в каждой конъюнкции встречаются все nпеременных.

На примере 1 мы рассмотрели один из способов построения СДНФ, основанный на составлении таблицы истинности. Следующий способ построения СДНФ основан на применении законов алгебры логики.

Пример 5 Найти совершенную дизъюнктивную форму формулы
.

Используя, что
, получаем
. Ввиду законов де Моргана и двойного отрицания имеем получили дизъюнктивную нормальную форму
. Данная ДНФ равносильна формуле.

Раскрывая скобки, получаем: .

Используя закон идемпотентности, получаем требуемую СДНФ:

Учитывая разложение (3.6), нетрудно заметить, что совершенная конъюнктивная нормальная форма формулы алгебры логики, содержащей ровно n различных переменных, есть ее конъюнктивная нормальная форма, в которой:

1) все дизъюнкции попарно различны;

2) каждая дизъюнкция содержит ровно nчленов;

3) в каждой дизъюнкции встречаются все nпеременных.

На примере 2 мы рассмотрели один из способов построения СКНФ, основанный на составлении таблицы истинности. Следующий способ построения СКНФ основан на применении законов алгебры логики.

Пример 6 Найти совершенную конъюнктивную нормальную форму формулы
.

Используя,
, получаем
.

Данная формула является конъюнктивной нормальной формой. Она равносильна формуле .

Используя закон дистрибутивности, получаем:

Применяя закон идемпотентности, получаем требуемую совершенную конъюнктивную нормальную форму

тождественно истинной , если она при всех значениях входящих в нее переменных принимает значениеистинно .

Примерами тождественно истинных формул являются формулы:

Формула алгебры логики называется тождественно ложной , если она при всех значениях, входящих в нее переменных, принимает значениеложь.

Примерами тождественно ложных формул являются формулы:

,

Формула алгебры логики называется выполнимой , если она при некоторых значениях, входящих в нее переменных, принимает значениеистинно.

Примерами выполнимых формул являются следующие формулы:

,
.

В алгебре логики можно поставить следующую задачу: указать способ (алгоритм), позволяющий для каждой формулы алгебры логики выяснить, является она тождественно истинной или нет. Поставленная задача носит название проблемы разрешения.

Рассмотрим следующие два способа решения этой задачи.

Способ 1 (табличный) Для того, чтобы определить, является ли данная формула тождественно истинной или нет, достаточно составить ее таблицу истинности.

Однако данный способ, хотя и дает принципиальное решение проблемы разрешимости, он довольно громоздкий.

Способ 2 основан на приведении формул к нормальной форме.

Теорема 4 Формула алгебры логики тогда и только тогда является тождественно истинной, когда каждая дизъюнкция в ее конъюнктивной нормальной форме содержит некоторую переменную вместе с ее отрицанием.

Действительно, если каждая дизъюнкция в конъюнктивной нормальной форме содержит переменную вместе с ее отрицанием, то все дизъюнкции равны 1, ибо
,
. Отсюда следует, что КНФ является тождественно истинной.

Пусть теперь данная формула является тождественно истинной, и пусть
есть некоторая дизъюнкция в КНФ данной формулы. Допустим, что данная дизъюнкция не содержит переменной вместе с ее отрицанием. В таком случае мы можем каждой переменной, не стоящей под знаком отрицания, дать значение 0, а каждой переменной, стоящей под знаком отрицания – значение 1. После указанной подстановки все дизъюнкции станут равны 0, следовательно, формула не является тождественно истинной. Получили противоречие.

Пример 7 Выяснить, будет ли тождественно истинной формула

.

Используя, что
, получаем
.

Применяя закон дистрибутивности, получаем КНФ:

Так как каждая дизъюнкция содержит некоторую переменную вместе с ее отрицанием, то формула тождественно истинна.

Аналогично предыдущей теореме доказывается теорема:

Теорема 5 Формула алгебры логики тогда и только тогда является тождественно ложной, когда каждая конъюнкция в ее дизъюнктивной форме содержит некоторую переменную вместе с ее отрицанием .

Данная теорема носит конструктивный характер, так как она позволяет для каждой функции построить реализующую ее формулу в виде совершенной д. н. ф. Для этого в таблице истинности для каждой для функции отмечаем все строки, в которых

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск

аранов Виктор Павлович. Дискретная математика.

Раздел 4. Функциональные системы с операциями. Алгебра логики.

Лекция 21. Принцип двойственности. Разложение функций по переменным. Совершенные ДНФ и КНФ

Лекция 21. ПРИНЦИП ДВОЙСТВЕННОСТИ. РАЗЛОЖЕНИЕ БУЛЕВЫХ

ФУНКЦИЙ ПО ПЕРЕМЕННЫМ. СОВЕРШЕННЫЕ ДИЗЪЮНКТИВНАЯ И

КОНЪЮНКТИВНАЯ НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ

План лекции:

1. Принцип двойственности.
2. Разложение булевых функций по переменным. Совершенные дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы.

1. Принцип двойственности

Функция, равная, называется двойственной функцией к функции .

Очевидно, что таблица истинности для двойственной функции получается из таблицы истинности для функции инвертированием (т. е. заменой 0 на 1 и 1 на 0) значений переменных и функции. Например, .

Легко установить для функций 0, 1, что

1. функция 0 двойственна 1;
2. функция 1 двойственна 0;
3. функция двойственна;
4. функция двойственна;
5. функция двойственна;
6. функция двойственна.

Из определения двойственности следует, что

т. е. функция является двойственной к (свойство взаимности).

Принцип двойственности. Если формула реализует функцию, то формула, т. е. формула, полученная из заменой функций соответственно на, реализует функцию.

Формулу будем называть формулой, двойственной к.

Для доказательства этого утверждения необходимо проверить его справедливость для элементарных шагов суперпозиции и.

Пусть, например, функция получается из функции в результате следующей подстановки переменных:

Тогда

т. е. функция получается из в результате той же самой подстановки переменных.

Доказательство справедливости принципа двойственности для шага проведем на примере. Пусть

Тогда

т. е. функция получается из и так же, как функция из и.

Принцип двойственности позволяет упростить вывод основных тавтологий и имеет целый ряд полезных применений, которые будут рассмотрены далее.

Пример 1. Из тождества следует тождество.

Действительно,

;; .

Пример 2. Построение формулы для отрицания функции.

Из определения двойственной функции следует

Получаем следующее правило: пусть формула реализует функцию. Чтобы получить формулу для функции нужно в формуле заменить все переменные на их отрицания.

Найдем отрицание для функции.

Так как, то.

1. Разложение булевых функций по переменным. Совершенные

Дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы

Введем обозначение

где – параметр, равный либо 0, либо 1. Очевидно, что

Легко видеть, что 1 тогда и только тогда, когда.

Теорема о разложении функций по переменным. Каждую функцию алгебры логики при любом () можно представить в следующей форме:

, (1)

где дизъюнкция берется по всевозможным наборам значений переменных.

Это представление называется разложением функции по переменным .

Доказательство. Рассмотрим произвольный набор значений переменных и покажем, что левая и правая части соотношения (1) принимают на нем одно и то же значение. Левая часть дает. Правая –

В качестве следствий из теоремы рассмотрим два специальных случая разложения.

1. Разложение по переменной:

Функции и называются компонентами разложения. Данное разложение полезно, когда какие-либо свойства устанавливаются по индукции.

1. Разложение по всем переменным:

При тождественно не равной 0 оно может быть преобразовано:

В результате окончательно получим

. (2)

Такое разложение называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (совершенной д. н. ф.).

Непосредственно к понятию совершенной д. н. ф. примыкает следующая теорема.

Теорема. Каждая функция алгебры логики может быть представлена формулой в базисе.

Доказательство.1) Пусть. Тогда, очевидно,

1. Пусть тождественно не равна 0. Тогда ее можно представить формулой (2).

Данная теорема носит конструктивный характер, так как она позволяет для каждой функции построить реализующую ее формулу в виде совершенной д. н. ф. Для этого в таблице истинности для каждой для функции отмечаем все строки, в которых. Для каждой такой строки образуем логическое произведение, а затем все полученные конъюнции соединим знаком дизъюнкции.

Пример 3. Найти совершенную д. н. ф. для функции.

Совершенная д. н. ф. есть выражение типа П. Покажем, что при тождественно не равной 1 ее можно представить в виде. Запишем для двойственной функции (очевидно не равной тождественно 0) разложение в виде совершенной д. н. ф.:

Из принципа двойственности следует

Таким образом, получаем разложение, которое называется совершенной конъюнктивной нормальной формой (совершенной к. н. ф.):

. (3)

Пример 4. Построить совершенную к. н. ф. для функции.

Имеем.